№35817

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Крупный бизнесмен является владельцем двух заводов, выпускающих одинаковую продукцию. На втором заводе используется более современное оборудование, позволяющее за одинаковое с первым заводом время производить больше продукции, чем на первом заводе. Известно, что если рабочие первого завода трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за это время они производят \(2t\) единиц товара. А если рабочие второго завода трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за это время они производят \(5t\) единиц товара. На обоих заводах за каждый час работы рабочему платят 500 рублей. Какое наибольшее число единиц продукции можно будет выпустить на обоих заводах при условии, что заработную плату на предстоящую неделю можно будет выплатить в размере 1450000 рублей?

Ответ

290

Решение № 35804:

Пусть суммарное рабочее время за неделю на первом заводе равно \(x^{2}\), а на втором заводе \(y^{2}\) часов. Тогда, согласно условию задачи, на заводах произведут соответственно \(2x\) и \(5y\) единиц продукции, а суммарное количество будет \(K=2x+5y\) (единиц продукции). Согласно условию за эту работу надо выплатить рабочим сумму \((x^{2}+y^{2})\cdot 500\) рублей. Так как есть возможность выплатить 1450000 рублей, то получаем уравнение: \((x^{2}+y^{2})\cdot 500=1450000\). Отсюда \(x^{2}+y{2}=2900\), \(y^{2}=2900-x^{2}\). Таким образом, \(K=K(x)=2x+5y=2x+5\cdot \sqrt{2900-x^{2}}\). Найдём наибольшее значение \(K(x)\) с помощью производной. \(K'(x)=2-\frac{5\cdot 2x}{2\sqrt{2900-x^{2}}}\). \(K'(x)=0\), если \(2-\frac{5x}{\sqrt{2900-x^{2}}}=0\); \(2\sqrt{2900-x^{2}}=5x\); \(4(2900-x^{2})=25x^{2}\); \(4\cdot 2900=29x^{2}\); \(x^{2}=400\); \(x=20\). Заметим, что \(K'(x)>0\) при \(x<20\) и \(K'(x)<0\) при \(x>20\), поэтому в точке \(x=20\) будет наибольшее значение. \(y=\sqrt{2900-20^{2}}=50\), \(K(20)=2\cdot 20+5\cdot 50=290\) (единиц продукции). Ответ: 290 единиц продукции.