№35818

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Первичная информация некоторой фирмы распределяется по серверами 1 и 2. С сервера 1 при объеме \(\omega^{2}\) Гбайт входящей в него информации выходит \(3\omega\) Гбайт, а сервера 2 при объеме \(\omega^{2}\) Гбайт входящей в него информации выходит \(4\omega\) Гбайт обработанной информации. Определите наибольший объем выходящей информации, если общий объем входящей информации равен 225 Гбайт.

Ответ

75

Решение № 35805:

Пусть на первый сервер входит \(x\) Гбайт, а на второй \(y\) Гбайт информации. По условию зависимость между объемами входящей и выходящей информации для серверов 1 и 2, получаем, что объем входящей информации будет равен \(\Omega=\Omega (x)=3\sqrt{x}+4\sqrt{y}=3\sqrt{x}+4\cdot \sqrt{225-x}\). Найдём наибольшее значение \(\Omega (x)\) с помощью производной. \(\Omega' (x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{2\cdot \sqrt{225-x}\). \(\Omega (x)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{4}{\sqrt{225-x}}\), \(\frac{9}{x}=\frac{16}{225-x\), \(9\cdot (225-x)=16x\), \(9\cdot 225=25x\), \(x=81\). Заметим, что \(\Omega' (x)>0\) при \(x<81\) и \(\Omega' (x)<0\) при \(x>81\), поэтому в точке \(x=81\) будет наибольшее значение. \(\Omega (81)=3\cdot \sqrt{81}+4\cdot \sqrt{225-81}=3\cdot 9+4\cdot 12=75\) Гбайт. Ответ: 75 Гбайт