№35822

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Цена бриллианта определённого качества массой \(m\) карат равна \(m(m+1)\) денежных единиц. Бриллиант этого качества массой 24 карата разбился на две части, после чего его стоимость уменьшилась. а) На сколько процентов от первоначальной стоимости уменьшилась стоимость бриллианта, если он разбился на части 16 и 8 карат? б) На какое максимальное число процентов от первоначальной стоимости может уменьшиться цена упомянутого бриллианта при разбиении на две части?

Ответ

\(42\frac{2}{3}\); 48

Решение № 35809:

а) Стоимость частей, на которые разбился бриллиант, равна \(16\cdot 17\) и \(8\cdot 9\) денежных единиц соответственно, а первоначальная стоимость бриллианта равна \(24\cdot 25\) денежных единиц. Составим пропорцию: \(24\cdot 25 — 100%\), \(16\cdot 17+8\cdot 9 — у%\). Отсюда \(y=\frac{(16\cdot 17+8\cdot 9)\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{16\cdot 17+8\cdot 9}{6}=\frac{272+72}{6}=\frac{344}{6}=57\frac{1}{3}\) (%). Цена уменьшилась на \(100-57\frac{1}{3}=42\frac{2}{3}\) (%). б) Пусть \(x\) и \((24-x)\) — массы частей, на которые разбился бриллиант. Их стоимость соответственно равна: \(x\cdot (x+1)\); \((24-x)cdot (25-x)\) денежных единиц, а стоимость всего бриллианта равна \(24\cdot 25\) денежных единиц. Составим пропорцию: \(24\cdot 25 — 100%\), \(x\cdot(x+1)+(24-x)\cdot (25-x) — f(x)%\). Тогда \(f(x)=\frac{(x\cdot(x+1)+(24-x)\cdot (25-x))\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{(x^{2}+x+600-49x+x^{2})\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{2x^{2}-48x+600}{6}=\frac{1}{3}x^{2}-8x+100\). Максимальное уменьшение процентов будет при минимальном значении \(f(x)\). Минимальное значение \(f(x)\) как квадратного трёхчлена будет при \(x=\frac{8}{\left (\frac{2}{3}\right )}=12\). \(f(12)=\frac{1}{3}\cdot 12^{2}-8\cdot 12+100=48-96+100=52\). Значит, максимальное число процентов, на которое может уменьшиться цена бриллианта, будет \(100-52=48\) (%). Ответ: а)\frac{42\frac{2}{3}\); 6) 48.