№35819

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Зависимость объема \(Q\) (в шт.) купленного у фирмы товара от цены (в руб. за шт.) выражается формулой \(Q=12000-P\), \(2000\leq P\leq 12000\). Доход от продажи товара составляет \(P\cdot Q\) рублей. Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(2500\cdot Q+1000000\) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 60%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ

75

Решение № 35806:

Прибыль фирмы выражается следующей формулой: \(f(P)=P(Q)-(2500Q+1000000)=-P^{2}+14500P-31000000\), то есть квадратичного зависит от цены \(P\). Пусть первоначальная цена равнялась \(P_{0}\). После снижения на 60% цена стала равняться \(0,4P_{0}\). Графиком функции \(y=f(P)\) является парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому наибольшего значения прибыль будет достигать в вершине параболы. Так как \(f(P_{0})=f(0,4P_{0})\), вершина параболы будет находиться в точке \(\frac{p_{0}+0,4P_{0}}{2}=0,7p_{0}\). Это означает, что нужно увеличить цену тоара с \(0,4P_{0}\) до \(0,7P_{0}\), то есть на \(\frac{0,7P_{0}-0,4P_{0}}{0,4P_{0}}\cdot 100%=75%\). Ясно, что в вершине параболы \(0,7P_{0}=\frac{14500}{2}=7250\), отсюда значения \(P_{0}\); \(0,4P_{0}\) и \(0,7P_{0}\) удовлетворяют неравенству \(2000\leq P\leq 12000\). Ответ: 75.