№35825

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Небольшой благотворительный фонд приобрёл ценные бумаги на сумму 10 млн рублей. Их стоимость в конце каждого \(k\)-го года (\(k=1, 2, 3,...\)) после года приобретения бумаг становится равной \(10+k^{2}\) млн рублей. Однако есть возможность в конце каждого года, последующего за годом приобретения ценных бумаг, продать их и вырученные деньги вложить в банк под 18% годовых (это означает, что в конце каждого года хранения денег в банке их сумма увеличивается на 18%). В конце какого года, последующего за годом приобретения ценных бумаг, их надо продать и вложить в банк вырученные деньги, чтобы через 28 лет после года приобретения ценных бумаг на банковском счёте оказалась наибольшая сумма?

Ответ

11

Решение № 35812:

Пусть \(k\) (\(k\in \mathbb{Z}\)) — порядковый номер последнего года хранения ценных бумаг не в банке. Тогда по условию и формуле сложных процентов через 28 лет после года приобретения ценных бумаг на банковском счёте будет \(f(k)=(10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\) млн рублей. Найдём теперь, при каком значении \(k\) (\(k\in \mathbb{Z}\), \(1\leq k\leq 28\)) функция \(f(k)=(10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\) принимает наибольшее значение. Решим неравенство \(f(k+1)\geq f(k)\) (1) на множестве натуральных чисел. \((10+(k+1)^{2})\cdot (1,18)^{27-k}\geq (10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\). Разделим обе части на положительное число \((1,18)^{27-k}\), получим равносильное неравенство \(10+(k+1)^{2}\geq (10+k^{2})\cdot 1,18\). \(-0,18k^{2}+2k-0,8\geq 0\); \(18k^{2}-200k+80\leq 0\); \(9k^{2}-100k+40\leq 0\). Корнями квадратного трёхчлена \(9k^{2}-100k+40\) являются числа \(\frac{50-\sqrt{2140}}{9}\) и \(]frac{50+\sqrt{2140}}{9}\), а решением неравенства \(9k^{2}-100k+40\leq 0\) будет промежуток \(\left \[\frac{50-\sqrt{2140}}{9}; \frac{50+\sqrt{2140}}{9}\right \]\). Заметим, что \(46<\sqrt{2140}<47\), поэтому \(0<\frac{50-\sqrt{2140}}{9}<1\), а \(10<\frac{50+\sqrt{2140}}{9}<11\). Натуральными числами, являющимися решениями неравенства (1), будут числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Значит, \(f(1)\leq f(2)\leq f(3)\leq ...\leq f(7)\leq f(8)\leq f(9)\leq f(10)\leq f(11)\). Кроме того, \(f(11)>f(12)>f(13)>...>f(27)>f(28)\). Действительно, если, например, выполнялось бы \(f(16)\leq f(17)\), то число 16 было бы решением неравенства (1), что неверно. Таким образом, \(f(11)\) является наибольшим значением функции, а число 11 — искомым. Ответ: 11.