№35827

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

В начале года индивидуальный предприниматель приобрёл акции нефтяной компании на 2 млн рублей. Их стоимость к 20 декабря каждого \(k\)-го года становится равной \((2+k^{2})\) млн рублей. Вместе с тем в конце каждого \(k\)-го года он может продать их и вложить в банк, где в конце каждого следующего года сумма вклада увеличивается в \((1+p)\) раз, но не более чем в два раза. Расчёты показали, что наибольшая сумма на счёте в банке к концу 15-го года будет в единственном случае — после продажи акций в конце 7-го года. Найдите, при каких положительных значениях \(p\) это возможно.

Ответ

\(\frac{15}{51}

Решение № 35814:

Отметим, что если вложить деньги в банк в конце \(k\)-го года, то сумма в банке к концу 15-го года станет равной \(a_{k}\) млн рублей, где \(a_{k}=(2+k^{2})(1+p)^{15-k}\). 2. Выясним, при каких \(k\) выполняется неравенство \(a_{k}<a_{k+1}\) (*). \((2+k^{2})(1+p)^{15-k}<(2+(k+1)^{2})(1+p)^{14-k}\), \((2+k^{2})(1+p)<2+(k+1)^{2}\), \(pk^{2}-2k+(2p-1)<0\). Пусть \(m\) — наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству (*) или равносильному неравенству \(pk^{2}-2k+(2p-1)<0\). Такое \(m\) существует, так как значение \(k=1\) удовлетворяет неравенству \(p-2+2p-1=Зp-3<0\) при \(p<1\) и множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству (*), ограничено сверху большим корнем уравнения \(pk^{2}-2k+(2p-1)=0\). Тогда \(a_{1}<a_{2}<...<a_{m}<a_m+1}\geq a_m+2}\geq a_{m+3}\heq ...\). Если \(a_{m+1}=a_{m+2}\), то наибольшее значение функции будет при нескольких значениях \(k\), что невозможно по условию. Значит, \(a_{m+1}\) является наибольшим значением функции \(a_{k}=(2+k^{2})(1+p)^{15-k}\) и достигается оно впервые при \(k=m+1\). Следовательно, \(m+1=7\) и \(a_{6}<a_{7}>a_{8}\). 3. Из неравенства \(a_{6}<a_{7}\) получаем \((2+6^{2})(1+p)^{9}<(2+7^{2})(1+p)^{8}\), \(38(1+p)<51\), \(1+p<\frac{51}{58}\), \(p<\frac{13}{38}\). Из неравенства \(a_{7}>a_{8}\) получаем \((2+7^{2})(1+p)^{8}>(2+8^{2})(1+p)^{7}\), \(51(1+p)>66\), \(1+p>\frac{66}{51}\), \(p>\frac{15}{51}\). Ответ: \(\frac{15}{51}<p<\frac{13}{38}\)