№35863

Экзамены с этой задачей: системы неравенств в бытовых задачах

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, неравенства в текстовых задачах,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

В фирме «Звезда и спичка» более 48 сотрудников, которые распределены по отделам «А» и «Б». Если число сотрудников отдела «Б» увеличить на 12, то оно более чем в два раза превысит число сотрудников отдела «А». Если число сотрудников отдела «Б» увеличить втрое, то оно превысит удвоенное количество сотрудников отдела «А», но не более чем на 47. Найдите возможное количество сотрудников фирмы «Звезда и спичка».

Ответ

49

Решение № 35850:

Пусть в отделе «А» работает \(k\) сотрудников, а в отделе «Б» — 771 сотрудников. Тогда, согласно первому предложению условия, \(k+m>48\). Утверждение «Если число сотрудников отдела „Б" увеличить на 12, то оно более чем в два раза превысит число сотрудников отдела „А“ во введённых обозначениях примет вид \(m+12>2k\). Наконец, утверждение «Если число сотрудников отдела „Б“ увеличить втрое, то оно превысит удвоенное количество сотрудников отдела „А“, но не более чем на 47» запишем в виде \(0<3m-2k<47\). Таким образом, мы пришли к системе: \(\left\{\begin{matrix} k+m>48, \\2k-m<12, \\3m-2k>0, \\3m-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\). Из первого неравенства этой системы следует, что \(k>48-m\), а из второго, что \(k<6+\frac{m}{2}\). Отсюда \(6+\frac{m}{2}>\48-m\) и \(m>28\). Из четвёртого неравенства системы \(2k\geq 3m-47\) \(k\geq \frac{3m}{2}-23,5\). Следовательно, \(6+\frac{m}{2}>\frac{3m}{2}-23,5\) и, значит, \(m<29,5\). Таким образом, \(m=29\). При \(m=29) получаем: \(\left\{\begin{matrix} k+29>48, \\2k-29<12, \\3\cdot 29-2k>0, \\3\cdot 29-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} k>19, \\k<20,5, \\k<43,5, \\k\geq 20 \end{matrix}\right.\), \(k=20\). Следовательно, количество сотрудников \(k+m=20+29=49\). Ответ: 49.