№35826

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Индивидуальный предприниматель приобрёл акции строительной компании на 5 млн рублей. Их стоимость к 20 декабря каждого \(k\)-го года (\(k\on \mathbb{Z}\)), последующего за годом покупки акций, становится равной \((5+k^{3})\) млн рублей. Вместе с тем в в конце каждого \(k\)-го года, последующего за годом покупки акций, он может продать их и вложить в банк под 20% годовых (в конце года сумма вклада увеличивается на 20%). Найдите такое наименьшее \(k\), чтобы, вложив деньги в банк в конце \(k\)-го года, последующего за годом покупки акций, на счёте в банке к концу 20-го года после покупки акций была наибольшая сумма?

Ответ

16

Решение № 35813:

По условию, вложив деньги в банк в конце \(k\)-го года, последующего за годом покупки акций, на счёте в банке к концу 20-го года будет \(a_{k}\) млн рублей, где \(a_{k}=(5+k^{3})\cdot (1,2)^{20-k}\). 2. Выясним, при каких \(k\) выполняется неравенство \(a_{k}<а_{k+1}\) (*). \((5+k^{3})91,2)^{20-k}<(5+(k+1)^{3})(1,2)^{19-k}\), \((5+k^{3})1,2<5+(k+1)^{3}\), \(0,2k^{3}-Зk^{2}-Зk<0\), \(k(0,2k^{2}-Зk-3)<0\), \(k^{2}-15k-15<0\). Все указанные неравенства равносильны неравенству \(k^{2}-15k-15<0\), так как \((1,2)^{20-k}>0\) для любого \(k\) и \(k>0\). 3. Решаем уравнение \(x^{2}-15x-15=0\). \(x_{1, 2}=\frac{15\pm \sqrt{225+60}}{2}=\frac{15\pm \sqrt{285}}{2}\), \(x_{1}=\frac{15-\sqrt{285}}{2}\), \(x_{2}=\frac{15+\sqrt{285}}{2}\). Так как \(\sqrt{285}<17\), то \(-1<x_{1}<cx_{2}<16\). Следовательно, неравенство (*) выполняется при \(k=1,2,3,..., 15\): \(a_{1}<a_{2}<...<a_{15}<a_{16}\geq a_{17}\geq a_{18}\geq a_{19}\geq a_{20}\). Кроме того, можно непосредственно проверить, что \(\frac{a_{16}}{a_{17}}=\frac{(5+16^{3})\cdot 1,2}{5+17^{3}}=\frac{4921,2}{4918}>1\). Значит, \(a_{16}\) — наибольшее значение функции \(a_{k}=(5+k^{3})\cdot (1,2)^{20-k}\), и наименьшее значение \(k\), при котором оно достигается, равно 16. Ответ: 16.