Решение №39767: a) Деление на два четырехугольника: диагонали - \(AD\); \(BE\); \(CF\). б) Деление на пятиугольник и треугольник: диагонали - \(FB\); \(AC\); \(BD\); \(CE\); \(DF\); \(EA\). \(N = n + 2\), где \(N\) - количество углов многоугольника, на которые делится данный \(n-угольник\).

Ответ: a) 3; б) Деление на пятиугольник и треугольник: диагонали - \(FB\); \(AC\); \(BD\); \(CE\); \(DF\); \(EA\). \(N = n + 2\), где \(N\) - количество углов многоугольника, на которые делится данный \(n-угольник\).

Решение №39768: a) \(180^\circ \cdot (6 - 2) = 720^\circ\); б) \(180^\circ \cdot (12 - 2) = 1800^\circ\).

Ответ: a) \(720^\circ\); б) \(1800^\circ\).

Решение №39769: a) \(540^\circ = 180^\circ(n - 2)\); \(n - 2 = 3\); \(n = 5\). Ответ: 5 сторон. б) \(180^\circ(n - 2) = 900^\circ\); \(n - 2 = 5\); \(n = 7\). Ответ: 7 сторон. в) \(180^\circ(n - 2) = 1260^\circ\); \(n - 2 = 7\); \(n = 9\). Ответ: 9 сторон.

Ответ: a) 5; б) 7; в) 9.

Решение №39770: Сумма углов восьмиугольника: \(180^\circ \cdot (8 - 2) = 1080^\circ\). Если все углы равны, то каждый угол равен \(1080^\circ : 8 = 135^\circ\).

Ответ: \(135^\circ\).

Решение №39771: Сумма углов выпуклого пятиугольника \(180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ\). Если два угла прямые, то сумма оставшихся трех углов равна \(540^\circ - 90^\circ \cdot 2 = 360^\circ\). Если эти три угла равны между собой, то каждый из них равен \(360^\circ : 3 = 120^\circ\).

Ответ: \(120^\circ\).

Решение №39772: Сумма углов выпуклого шестиугольника равна: \(180^\circ \cdot (6 - 2) = 720^\circ\). Сумма данных пяти углов равна \(5 \cdot 120^\circ = 600^\circ\). Тогда оставийся угол равен \(720^\circ - 600^\circ = 120^\circ\), следовательно, все углы равны, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39773: Будем находить количество вершин многоугольника \(х\). Если \(х\) - целое, многоугольник существует, если \(х\) - дробное, то нет. а) \(180^\circ(x - 2) = 1620^\circ\); \(x - 2 = 9\); \(x = 11\); существует; б) \(180^\circ(x - 2) = 1350^\circ\); \(x - 2 = 7,5\); \(x = 9,5\); не существует; в) \(180^\circ(x - 2) = 1980^\circ\); \(x - 2 = 11\); \(x = 13\); существует.

Ответ: а) существует; 11; б) не существует; в) существует; 13.

Решение №39774: Количество вершин данного многоугольника: \(5 + 4 - 2 = 7\). Следовательно, этот многоугольник - семиугольник. Сумма его углов: \(180^\circ \cdot (7 - 2) = 900^\circ\).

Ответ: семиугольник, \(900^\circ\).

Решение №39775: Сумма углов многоугольника: \(182^\circ \cdot (n - 2) = 3 \cdot 80^\circ + (n - 3) \cdot 160^\circ\); \(180^\circ n - 360^\circ = 240^\circ + 160^\circ n - 480^\circ\); \(20^\circ n = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\); \(n = 6\).

Ответ: 6.

Решение №39776: a) \(180^\circ \cdot (n - 2) = n \cdot 60^\circ\); \(180^\circ \cdot n - 60^\circ \cdot n = 180^\circ \cdot 2\); \(120^\circ \cdot n = 360^\circ\); \(n = 3\). Ответ: 3 стороны. б) \(180^\circ - (n - 2) = n \cdot 108^\circ\); \(180^\circ \cdot n - 108^\circ \cdot n = 2 \cdot 180^\circ\); \(72^\circ \cdot n = 360^\circ\); \(n = 5\). Ответ: 5 сторон. в) \(180^\circ \cdot (n - 2) = n \cdot 120^\circ\); \(180^\circ \cdot n - 120^\circ \cdot n = 2 \cdot 180^\circ\); \(60^\circ \cdot n = 360^\circ\); \(n = 6\). Ответ: 6 сторон.

Ответ: a) 3; б) 5; в) 6.

Решение №39777: Найдем количество сторон: \(180^\circ \cdot (n - 2) = n \cdot 90^\circ\); \(180^\circ \cdot n - 90^\circ \cdot n = 2 \cdot 180^\circ\); \(90^\circ \cdot n = 360^\circ\); \(n = 4\). По определению, четырехугольник, у которого все углы прямые, - прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39778: Количество диагоналей определяется по формуле: \(N = (n - 3) \cdot \fraq{n}{2}\), где \(n\) - количество вершин многоугольника. Формула получена из таких соображений: \(n - 3\) - количество диагоналей, исходящих из одной вершины. Таких вершин \(n\), но каждая диагональ при обходе всех вершин встречается по два раза, поэтому получаем \((n - 3) \cdot \fraq{n}{2}\).

Ответ: \((n - 3) \cdot \fraq{n}{2}\).

Решение №39779: Пусть выпуклый многоугольник имеет \(m\) острых углов, тогда их сумма меньше \(90^\circ \cdot m\). Если общее число вершин \(n\), то сумма оставшихся \((n - m)\) углов равна: \((n - 2) \cdot 180^\circ - 90^\circ \cdot m = 90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ\). Допустим, что оставшиеся углы равны, тогда: \(90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ = (n - m) \cdot x^\circ\). По условию многоугольник выпуклый, тогда \(х^\circ < 180^\circ\). \(90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ < 180^\circ \cdot (n - m)\); \(180^\circ \cdot n = 90^\circ \cdot m - 360^\circ < 180^\circ \cdot m - 180^\circ \cdot n\); \(90^\circ \cdot m - 360^\circ < 0\); \(mく4\); \(m = 1; 2 ; 3\). Следовательно, количество острых углов не может быть больше трех, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39780: По определению равностороннего пятиугольника: \(АВ = ВС = CD = DE = ЕА\). Соединим \(ВЕ\), тогда \(BEDC\) - квадрат по определению, тогда \(ВЕ = CD = AE = AB\). \(\Delta ABE\) - равносторонний по определению. По свойству равностороннего треугольника: \(\angle BEA = \angle EBA = \angle BAE = 60^\circ\). Тогда: \(\angle ABC = \angle AED = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ\).

Ответ: \(150^\circ, 150^\circ и 60^\circ\).

Решение №39781: Рассмотрим для простоты пятиугольник \(АВСDЕ\). Проведем диагональ \(СЕ\), для \(\Delta CED\): \(CE < ED + DC\). Проведем диагональ \(ВЕ\), тогда \(ВЕ < BC + ED + DC\). (Для \(n-угольника\) повторим эту процедуру необходимое количество раз.) \(AE < AB + ВЕ\). Неравенство только усилится, если подставить \(ВЕ\): \(AE < AB + BC + ED + DC\). Следовательно, длина любой стороны многоугольника меньше суммы длин остальных сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: NaN

Решение №39782: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Ответ: Рассмотрим два многоугольника, на которые данная диагональ делит исходный многоугольник. В предыдущей задаче было доказано, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных. Тогда \(d < P_{1}\) и (d < P_{2}\), где \(d\) - длина диагонали, а \(P_{1}\) и \(P_{2}\) - периметры (без стороны, совпадающей с диагональю) многоугольников, на которые данный разбивает диагональ, но \(P_{1} + P_{2} = Р\). Тогда: \(2d < P\); \(d < \fraq{P}{2}\). Следовательно, диагональ многоугольника, периметр которого равен 20 см, не может быть равна 10 см.

Решение №39783: По определению параллелограмма: \(BC \parallel AD\), тогда \(\angle FBA = \angle EAB\) как внутренние накрест лежащие при \(ВC \parallel AD\) и секущей \(AB\). \(\angle FMB = \angle AME\) - как вертикальные. \(МВ = АМ\) по условию, тогда \(\Delta FBM = \Delta ЕАМ\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

Ответ: NaN

Решение №39784: По теореме Пифагора: \(BM = \sqrt{BA^2 - AM^2} \Rightarrow BM < BA\); \(BN = \sqrt{BC^2 - CN^2} \Rightarrow BN < BC\); \(DF = \sqrt{DC^2 - CF^2} \Rightarrow DF < DC\); \(ED = \sqrt{AD^2 - EA^2} \Rightarrow ED < AD\). Складываем эти неравенства: \(BM + BN + DF + ED < BA + BC + CD + AD\).

Ответ: NaN

Решение №39785: Нет. Многоугольники называются равными, если они имеют равные соответствующие стороны. Условие равенства площадей не дает однозначного равенства сторон.

Ответ: NaN

Решение №39786: Нет. Например, прямоугольники со сторонами 3, 5 и 4, 4 имеют равные периметры 16, а их площади равны 15 и 16 соответственно.

Ответ: Нет.

Решение №39787: \(1 : 1\). Данная прямая делит высоту параллелограмма пополам, а следовательно, и площадь каждой части - половина лонади всего параллелограмма, следовательно, эти части равновелики.

Ответ: \(1 : 1\).

Решение №39788: a) Верно. Из теоремы Пифагора: \(a_{1} = \fraq{d}{\sqrt{2}}\) и (a_{2} = \fraq{d}{\sqrt{2}}\). б) Верно. Контрпример: пусть площади прямоугольников равны 12 \(см^2\), стороны одного из них равны 3 см и 4 см, а другого - 2 см и 6 см, следовательно, данные прямоугольники равновелики, но не равны. в) Верно: \(S_{1} = a_{1}^2\) и \(S_{2} = a_{2}^2\), если \(S_{1} = S_{2}\), то \(a_{1}^2 = a_{2}^2\), следовательно, \(a_{1} = a_{2}\), и квадраты равны.

Ответ: a) Верно; б) верно; в) верно.

Решение №39789: У прямоугольника. Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), \(b > a\). \(S_{кв.} = a^2\) и \(S_{пр.} = a \cdot b\); \(\fraq{S_{пр.}}{S_{кв.}} = \fraq{b}{a} >1\); \(S_{пр.} > S_{кв.}\).

Ответ: \(S_{пр.} > S_{кв.}\).

Решение №39790: \(S = 4 \cdot 5 = 20 (см^2)\).

Ответ: NaN

Решение №39791: \(S = 12 \cdot 1 = 12 (см^2)\). \(S = 3 \cdot 4 = 12 (см^2)\).

Ответ: NaN

Решение №39792: \(S_{ABCD} = S_{AB_{1}C_{1}D}\).

Ответ: NaN

Решение №39793: a) б)

Ответ: NaN

Решение №39794: a) \(AB = 9\) см, \(ВС = 4\) см. \(S = AB \cdot BC = 9 \cdot 4 = 36 (см^2)\). б) \(AB : BC = 5 : 7\); \(P_{ABCD} = 48\) см. \(P_{ABCD} = 2(AB + BC)\). Пусть \(АВ = 5х\), \(ВС = 7х\), следовательно: \(48 = 2(5x + 7x)\); \(48 = 24x\); \(x = 2\) (см). \(АВ = 5x\); \(АВ = 10\) см; \(ВС = 7х\); \(ВС = 14\) см; \(S = AB \cdot BC\); \(S = 10 \cdot 14 = 140 (см^2)\). в) \(AD = 12\); \(AC = 13\) см. По теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\) (см). \(S = AD \cdot CD\); \(S = 5 \cdot 12 = 60 (см^2)\).

Ответ: a) \(36 см^2\); б) \(140 см^2\); в) \(60 см^2\).

Решение №39795: Площадь прямоурольника: \(S_{1} = bc\). Площадь квадрата: \(S_{2} = a^2\). \(a^2 = bc\); \(a^2 = 9 \cdot 25 = 225\); \(a = 15\) (см).

Ответ: 15 см.

Решение №39796: По теореме Пифагора: \(d = \sqrt{а^2 + а^2} = \sqrt{2}a\). Тогда сторона квадрата: \(a = \fraq{d}{\sqrt{2}}\) и его площадь: \(S = а^2\); \(S = \fraq{12^2 \cdot 2}{2} = 144 (м^2)\).

Ответ: \(144 (м^2)\).

Решение №39797: Площадь квадрата равна \(S = а^2\); тогда его сторона \(а = \sqrt{S}\); \(a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) (см). Периметр квадрата: \(Р = 4а\); \(P = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) (см).

Ответ: \(16\sqrt{2}\) см.

Решение №39798: Площадь прямоугольника равна: \(S = а \cdot b\); но \(a = 2b\), тогда \(S = 2b^2\); \(2b^2 = 128\); \(b^2 = 64\); \(b = 8\) (см); \(а = 2b\), тогда \(а = 16\) (см).

Ответ: 8 см и 16 см.

Решение №39799: а) \(S = a \cdot h_{a}\); \(S = 10 \cdot 6 = 60 (см^2)\). б) \(S = a \cdot h_{a}\); отсюда \(a = \fraq{S}{h_{a}}\); \(a = \fraq{48}{4} = 12\) (см). в) (S = a \cdot h_{a}\); \(h_{a} = \fraq{S}{a}\); \(h_{a} = \fraq{120}{24} = 5\) (см).

Ответ: а) \(60 (см^2)\); б) 12 см; в) 5 см.

Решение №39800: По теореме Пифагора: \(b^2 = a^2 + d^2\). \(a = \sqrt{b^2 - d^2}\); \(a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8\) (см). \(S = a \cdot d\); \(S = 8 \cdot 15 = 120 (см^2)\).

Ответ: \(20 (см^2)\).

Решение №39801: \(S = a \cdot h_{a} \Rightarrow h_{a} = \fraq{S}{a}\); \(h_{a} = \fraq{96}{12} = 8\) (см). \(S = b \cdot h_{b} \Rightarrow h_{b} = \fraq{S}{b}\); \(h_{b} = \fraq{96}{16} = 6\) (см).

Ответ: 6 см и 8 см.

Решение №39802: \(S_{a} = a \cdot h_{a}\); \(S_{a} = 16 \cdot 9 = 144 (см^2)\); \(S_{b} = S_{a} = 144 (см^2)\) и \(S_{b} = b^2\); тогда \(b^2 = 144 (см^2)\); \(b = 12\) (см).

Ответ: 12 см.

Решение №39803: Площадь всей стены: \(S_{ст} = a \cdot b = 2,25 \cdot 1,8 = 4,05 (м^2) = 40 500 (см^2)\). Площадь одной плитки: \(S_{пл} = d^2\); \(S = 15^2 = 225 (см^2)\). Количество плиток: \(N = \fraq{S_{ст}}{S_{пл}} = \fraq{40 500}{225} = 180\).

Ответ: 180 плиток.

Решение №39804: Задача имеет два решения: a) \(ВС = 4\) см; \(AC\) - биссектриса, тогда \(\angle BAC = \angle CAE = 45^\circ\). Тогда \(\Delta АВС\) - равнобедренный то признаку. По определению равнобедренного треугольника \(AB = ВС\), тогда \(АВ = 4\) см; \(BD = BC + CD = 3 + 4 = 7\) (см). \(S = BD \cdot AB\); \(S = 7 \cdot 4 = 28 (см^2)\). б) \(ВС = 3\) см. Аналогично пункту а) доказывается, что \(ВС = АВ\), тогда \(S = AB \cdot BD\); \(S = 3 \cdot 7 = 21 (см^2)\).

Ответ: Задача имеет два решения: a) \(28 см^2\); б) \(21 см^2\).

Решение №39805: Пусть сторона \(a\) равна \(5х\), тогда \(b\) равна \(12х\). По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\); \(d^2 = 25x^2 + 144x^2\); \(d^2 = 169x^2\); \(x = \fraq{d}{13}\); \(x = \fraq{26}{13} = 2\); \(а = 5 \cdot 2 = 10\) (см); \(b = 12 \cdot 2 = 24\) (см). \(S = a \cdot b\); \(S = 10 \cdot 24 = 240 (см^2)\).

Ответ: 240 \(см^2\).

Решение №39806: a) Периметр \(P = 2(а + b)\). Площадь \(S = a \cdot h_{a}\) и \(S = b \cdot h_{b}\) тогда: \(а \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}\). откуда \(b = a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\) Тогда: \(Р = 2(a + a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\); \(a = \fraq{P}{2 \cdot (1 + \fraq{h_{a}}{h_{b}})} = \fraq{P}{2h_{a} + h_{b}\); \(a = 12 см\) \(S = a \cdot h_{a}\); \(S = 12 \cdot 6 = 72 см^{2}\) Ответ: \(72 см^{2}\) б) По теореме Пифагора для \(\Delta ABE\): \(AB^{2} = BE^{2} + EA^{2}\), тогда: \(BE = \sqrt{AB^{2} - EA^{2}}\); \(BE = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 см\); \(AD = AE + ED\); \(AD = 10 см\). \(S = AD \cdot BE = 30 см^{2}\) Ответ: \(30 см^{2}\) в) Проведем \(BE \perp AD \rightarrow \Delta ABE\) - прямоугольный. T. к. \(\angle BAE = 30^\circ\), то \(BE = \fraq{1}{2} AB\) (как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\)) \(\rightarrow BE = \fraq{1}{2} \cdot 8 = 4 (см)\). \(S = BC \cdot BE = 10 \cdot 4 = 40 (cm^{2})\). Построим треугольник \(ABB_{1}\) так, что: \(BB_{1} \perp AD\), \(\angle EAB_{1} \perp \angle EAB = 30^\circ\). Torда \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta АВ_{1}Е\) п прямоугольные и \(\angle ABE = \angle AB_{1}E = 60^\circ\). \(\angle BAB_{1} = \angle BAE + \angle EAB_{1} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\) По признаку \(\Delta ABB_{1}\) - равносторонний, тогда по определению \(АВ = ВВ_{1} = АВ_{1}\) и по свойству медианы \(АЕ\) - медиана. Тогда \(ВЕ = \fraq{AB}{2}\). Площадь: \(S = BE \cdot AD\); \(S = \fraq{AB \cdot BC}{2}\); \(S = \fraq{8 \cdot}{2} = 40 см^{2}\) Ответ: \(40 см^{2}\).

Ответ: NaN

Решение №39807: \(S = AB \cdot BD\). По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} = BE^{2} + ED^{2} DC^{2} = CE^{2} + ED^{2} BD^{2} DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Вычтем из 1-го уравнения 2-е: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} - DC^{2} = BE^{2} + EC^{2} BD^{2} + DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Сложим оба уравнения: \(2BD^{2} = BE^{2} + EC^{2} + BC^{2}\) \(BC = EB + EC = 9 + 4 = 13 (см)\) \(BD^{2} = \fraq{1}{2} \cdot (9^{2} + 4^{2} + 13^{2}) = \fraq{1}{2} \cdot (81 + 16 + 169) = 133\); \(AB^{2} = AD^{2} - BD^{2} = 36\); \(S = \sqrt{36 \cdot 133} = 6\sqrt{133}\) Ответ: \(6\sqrt{133}\) б) Т.к. \(\Delta ECD\) - прямоугольный, то \(\angle EDC = 45^\circ\), тогда \(\Delta EDC\) - равнобедренный \(\rightarrow EC = ED\) и по теореме Пифагора: \(EC^{2} + ED^{2} = CD^{2}\); \(2EC^{2} = CD^{2}\); \(EC = \fraq{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} = 4 см\); \(EC = 4 см\) \(S = ED \cdot BC\); \(S = 4 \cdot 8 = 32 (см^{2})\). Ответ: \(32 см^{2}\).

Ответ: Ответ: \(32 см^{2}\)

Решение №39808: Периметр ромба \(Р = 4а\), отсюда \(a = \fraq{P}{4}\); \(a = \fraq{24}{4} = 6 (см)\) Площадь ромба \(S = a \cdot h\); \(h = \fraq{S}{a}\); \(h = \fraq{24}{6} = 4 (см)\).

Ответ: Ответ: высота ромба равна \(4 см\).

Решение №39809: По определению средней линии: \(А_{1}В_{1}\) - средняя линия \(\Delta ABC\); \(A_{1}D_{1}\) - средняя линия \(\Delta BAD\); \(D_{1}C_{1}\) - средняя линия \(\Delta ADC\); \(C_{1}B_{1}\) - средняя линия \(\Delta BCD\). По свойству средней линии: \(С_{1}В_{1} \parallel BD\); \(AВ_{1}B_{1} \parallel AC\)l \(AВ_{1}D_{1} \parallel BD\); \(D_{1}C_{1} \parallel AC\) и \(A_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = \fraq{BD}{2}\); \(A_{1}B_{1} = D_{1}C_{1} = \fraq{AC}{2}\) По свойству диагоналей ромба \(BD \perp AC\), тогда \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - прямоугольник. Тогда \(S = A_{1}B_{1} \cdot A_{1}D_{1}\); \(S = \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{BD}{2}\) \(S = \fraq{16}{2} \cdot \fraq{30}{2} = 120 (см^{2})\) Ответ: \(120 (см^{2}\)

Ответ: Ответ: \(120 (см^{2}\)

Решение №39810: По определению ромб явлется параллелограммом, тогда по свойству углов параллелограмма: \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\); \(\angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Тогда \(AH = \fraq{AB}{2}\) (см. решение задачи 551 (в)). По определению ромба \(AB = BC = CD = DA\), тогда \(ВС = AB = 2АН\). \(ВС = 5 \cdot 2 = 10 (см)\) . Площадь ромба \(S = AH \cdot BC\); \(S = 5 \cdot 10 = 50 (см^{2})\) Ответ: \(50 (см^{2})\)

Ответ: Ответ: \(50 (см^{2})\)

Решение №39811: По теореме Пифагора: \(BD = \sqrt(AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{AB^{2} + AB^{2}} = \(\sqrt{AB}\). Площади равны: \( \begin{equation*} \begin{cases} S_{ABCD} = AB^{2}; S_{A_{1}BDC_{1}} = BD^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Тогда \(S_{A_{1}BDC_{1}} = (\sqrt{2} AB)^{2} = 2AB^{2} = 2S_{ABCD}\)

Ответ: NaN