№39795

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Докажите, что выпуклый многоугольник не может иметь больше трех острых углов.

Ответ

NaN

Решение № 39779:

Пусть выпуклый многоугольник имеет \(m\) острых углов, тогда их сумма меньше \(90^\circ \cdot m\). Если общее число вершин \(n\), то сумма оставшихся \((n - m)\) углов равна: \((n - 2) \cdot 180^\circ - 90^\circ \cdot m = 90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ\). Допустим, что оставшиеся углы равны, тогда: \(90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ = (n - m) \cdot x^\circ\). По условию многоугольник выпуклый, тогда \(х^\circ < 180^\circ\). \(90^\circ \cdot (2n - m) - 360^\circ < 180^\circ \cdot (n - m)\); \(180^\circ \cdot n = 90^\circ \cdot m - 360^\circ < 180^\circ \cdot m - 180^\circ \cdot n\); \(90^\circ \cdot m - 360^\circ < 0\); \(mく4\); \(m = 1; 2 ; 3\). Следовательно, количество острых углов не может быть больше трех, что и требовалось доказать.