Решение №15873: ОДЗ: \( x-4y> 0 \) Из условия \( \left\{\begin{matrix} 8^{\log _{9}\left ( x-4y \right )}=8^{\circ} & & \\ \left ( 2^{x-2y} \right )-7*2^{x-2y}-8=0 . & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы имеем \( \log _{9}\left ( x-4y \right )=0 \), откуда \( x-4y=1 \) Решая второе уравнение системы как квадратное относительно \( 2^{x-2y} \), получаем \( 2^{x-2y}=-1,\varnothing ; 2^{x-2y}=2^{3} \), откуда \( x-2y=3 \) Исходная система принимает вид \( \left\{\begin{matrix} x-4y=1, & & \\ x-2y=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5, & & \\ y=1. & & \end{matrix}\right. \)

Ответ: \( \left ( 5; 1 \right ) )\

Решение №15874: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Логарифмируя первое и второе уравнения ситемы по основанию получаем \( \left\{\begin{matrix} \log _{5}x^{2y^{2}-1}=\log _{5}5, & & \\ \log _{5}x^{2y^{2}+2}=\log _{5}125, & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2y^{2}-1 \right \)log _{5}x=1 & & \\ \left ( y^{2}+2 \right \)log _{5}x=3 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \log _{5}x=\frac{1}{2y^{2}-1} \) Из второго уравнения системы имеем \( \frac{y^{2}+2}{2y^{2}-1}=3. y^{2}=1 \), откуда \( y=\pm 1 \) Тогда \( \log _{5}x=1 \), т.е. \( x=5\)

Ответ: \( \left ( 5; 1 \right ), \left ( 5; -1 \right ) )\

Решение №15875: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x\neq 1 & & \\ 0< y\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения имеем: \( \log _{y}x+\frac{1}{\log _{y}x}-2=0, \log _{y}^{2}x-2\log _{y}x+1=0, \left ( \log _{y}x-1 \right )^{2}=0 \), откуда \( \log _{y}x=1, x=y \) Из второго уравнения системы имеем \( y^{2}-y-20=0 \), откуда \( y_{1}=-4, y_{2}=5; y_{1}=-4 \) не подходит по ОДЗ. Тогда \( x=y=5 \)

Ответ: \( \left ( 5; 5 \right ) )\

Решение №15876: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & \\ y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Из первого уравнения системы уравнений имеем \( x^{2}+y^{2}=100 \) Из второго уравнения системы найдем \( \log _{2}\frac{x}{16}=\log _{2}\frac{3}{y} \), откуда \( \frac{x}{16}=\frac{3}{y}, x=\frac{48}{y} \) Далее получаем \( \left ( \frac{48}{y} \right )^{2}+y^{2}-100=0, y^{4}-100y^{2}+2304=0 \), откуда \( y_{1,2}=\pm 6, y_{3,4}=\pm 8; y_{2}=-6 , y_{4}=-8 \) не подходят по ОДЗ. Тогда \( x_{1}=8, x_{2}=6 \)

Ответ: \( \left ( 8; 6 \right ), \left ( 6; 8 \right ) )\

Решение №15877: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+y\neq 1, & & \\ 2x-y\neq 0. & & \end{matrix}\right. \) Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем \( \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x+y \right )*2^{y-2x}=\lg \left ( \frac{5}{2} \right )^{2} & & \\ \lg \left ( x+y \right )^{\frac{1}{2x-y}}=\lg 5 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lg \left ( x+y \right )+\left ( y-2x \right \)lg 2=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), & & \\ \frac{\lg \left ( x+y \right )}{2x-y}=\lg 5 & & \end{matrix}\right. \) Из второго уравнения системы получаем \( \lg \left ( x+y \right )=\left ( 2x-y \right \)lg 5 \), тогда\left ( 2x-y \right \)lg 5+\left ( y-2x \right \)lg 2=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), \left ( 2x-y \right \)left ( \lg 5-\lg 2 \right )=2\left ( \lg 5-\lg 2 \right ), 2x-y=2 \) Исходная система принимает вид \( \left\{\begin{matrix} 2x-y=2, & & \\ \lg \left ( x+y \right )=2\lg 5, & & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 2x-y=2, & & \\ x+y=25 & & \end{matrix}\right.\), откуда \( \left\{\begin{matrix} x=9, & & \\ y=16. & & \end{matrix}\right.\)

Ответ: \( \left ( 9; 16 \right ) )\

Решение №15878: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-y> 0, & & \\ x+y> 0. & & \end{matrix}\right. \) Имеем: \( \left\{\begin{matrix} 10^{1+\lg \left ( x+y \right )}=\lg 50, & & \\ \lg \left ( x^{2}-y^{2} \right )=\lg 20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\lg \left ( x+y \right )=\lg 50, & & \\ x^{2}-y^{2}=20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5, & & \\ \left ( x-y \right \)left ( x+y \right )=20 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5, & & \\ x-y=4, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=\frac{9}{2}, y=\frac{1}{2} \)

Ответ: \( \left (\frac{9}{2}; \frac{1}{2} \right ) )\

Решение №15879: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит хорду на отрезки длиной 5 и 11, поэтому \(СМ = З\) (рис. ниже). Треугольник \(СОМ\) равнобедренный прямоугольный, поэтому \(ОМ = СМ = З\).

Ответ: NaN

Решение №15880: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит диаметр на отрезки длиной 5 и 13, поэтому \(СО = 4\) (рис. ниже). Катет \(ОМ\) прямоугольного треугольника \(СОМ\) лежит против угла \(30^{\circ}\) , поэтому \(ОМ = \frac{1}{2} CO=2\)

Ответ: NaN

Решение №15881: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности, \(ОМ = ОN\) . Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15882: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности. Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. 131), поэтому прямоугольные треугольники \(РОМ\) и \(PON\) тоже равны по гипотенузе и катету.

Ответ: NaN

Решение №15883: Центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами прямоугольника.

Ответ: NaN

Решение №15884: Расстояние от середины хорды до точки пересечения хорд равно 2, поэтому центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами квадрата, сторона которого равна 2.

Ответ: NaN

Решение №15885: Пусть стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) равны и точка \(М\) — середина основания \(АС\). Тогда \(\angle AMB = 90^{\circ}\) , поэтому точка \(М\) лежит на окружности с диаметром \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15886: Пусть окружность с диаметром \(АВ\) проходит через середину \(М\) стороны \(АС\). Тогда \(ВМ\) — высота треугольника и его медиана. Треугольник, в котором медиана является высотой, равнобедренный.

Ответ: NaN

Решение №15887: Пусть окружность с диаметром \(АС\) пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) в точках \(D\) и \(Е\), причём \(АD = СЕ\). Тогда прямоугольные треугольники \(АСЕ\) и \(CAD\) равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle A = \angle C\).

Ответ: NaN

Решение №15888: Прямоугольные треугольники \(ADM\) и \(AND\) равны по гипотенузе и острому углу.

Ответ: NaN

Решение №15889: Все диаметры окружности равны, поэтому хорду \(АВ\) можно сравнить с диаметром \(АС\). Если хорда \(АВ\) отлична от диаметра, то диаметр \(АС\) — гипотенуза прямоугольного треугольника, а хорда \(АВ\) — его катет.

Ответ: NaN

Решение №15890: Отрезок \(СК\) перпендикулярен гипотенузе \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15891: Пусть окружность, построенная на катете \(АС\) прямоугольного треугольника \(АВС\) как на диаметре, проходит через середину \(М\) гипотенузы \(АВ\). Тогда угол \(АМС\) прямой, поэтому медиана \(СМ\) совпадает с высотой. Следовательно, треугольник \(АВС\) равнобедренный .

Ответ: NaN

Решение №15892: Точка \(D\) основание высоты, проведённой из вершины \(А\).

Ответ: NaN

Решение №15893: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности, диаметром которой служит отрезок \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15894: Проведите из середины гипотенузы перпендикуляры к катетам (рис. ниже). Они разбивают прямоугольный треугольник на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Каждую из этих трёх фигур можно накрыть кругом диаметром \(\frac{c}{2}\).

Ответ: NaN

Решение №15895: Непересекающиеся хорды разбивают круг на З части, а пересекающиеся на 4.

Ответ: NaN

Решение №15896: Если хорды попарно не пересекаются, то они разбивают круг на 4 части. Если две хорды пересекаются, а третья их не пересекает, то они разбивают круг на 5 частей. Если две хорды пересекаются, а третья либо пересекает только одну из них, либо проходит через их точку пересечения, то они разбивают круг на 6 частей. Если хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны в трёх разных точках, то они разбивают круг на 7 частей.

Ответ: NaN

Решение №15897: Число частей наибольшее в том случае, когда хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны, а наименьшее в том случае, когда хорды попарно не пересекаются.

Ответ: NaN

Решение №15898: Число частей наибольшее, когда окружности попарно пересекаются и все точки пересечения различны

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 60

Решение №15906: Примените теорему о внешнем угле треугольника

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(R\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(90^{o}\)

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(120^{o}\)

Решение №15910: Обозначим \(∠ACD = \alpha\) (рис. 140). Тогда \(∠BOC = ∠BCO = \alpha\), \(∠OAB = ∠ABO = ∠BCO + ∠BOC = 2\alpha\), \(∠AOD = ∠OAC + ∠ACO = 2\alpha + \alpha = 3\alpha\)

Ответ: NaN

Решение №15911: Опустите перпендикуляр из центра окружности на данную прямую.

Ответ: NaN

Решение №15912: Опустите перпендикуляры из центра окружности на данные хорды.

Ответ: NaN

Решение №15913: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Ответ: 24

Решение №15914: Пусть \(O\) — центр окружности, \(AB и CD\) — данные хорды, \(M и N\) — их середины, \(K\) — точка пересечения хорд (рис. 141). Докажите равенство прямоугольных треугольников \(KOM\) и \(NMO\).

Ответ: NaN

Решение №15915: Пусть \(N\) и \(M\) — основания перпендикуляров, опущенных из центр \(O\) окружности на данные хорды, \(A\) — точка пересечения хорд (рис. 142). Тогда \(N\) и \(M\) — середины хорд, а все стороны четырехугольника \(OMAN\) равны (это квадрат). Следовательно, \(ON = AM =\frac{1}{2}(a + b) − a =\frac{1}{2}(b − a)\)

Ответ: \(\frac{1}{2}(b − a)\)

Решение №15916: Окружность, концентрическая данной

Ответ: NaN

Решение №15917: Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Окружность с диаметром \(AB\) без точек \(A\) и \(B\)

Решение №15919: Отрезок \(BC\) виден из точек \(M\) и \(N\) под прямым углом.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 8

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(8\) и \(6\)

Решение №15922: Так как \(AC || BD\), то \(∠BAC = ∠ABD\), поэтому прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(BAD\) равны по гипотенузе и острому углу (рис. 143). Значит, \(AC = BD\). Кроме того, значит, \(CD\) — диаметр \(∠CAD = ∠CAB + ∠BAD = ∠CAB + ∠ABC = 90^{o}\) ,

Ответ: NaN

Решение №15923: Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 1

Решение №15925: Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также медианой

Ответ: NaN

Решение №15927: Если высота треугольника является также медианой, то треугольник равнобедренный.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 60

Решение №15929: Перпендикуляры \(OM\) и \(ON\) (рис. 144), опущенные из центра \(O\) окружности на равные хорды \(AB\) и \(CD\) соответственно, равны и делят эти хорды пополам, поэтому прямоугольные треугольники \(POM\) и \(PON\) равны по катету и гипотенузе, значит, \(PM = PN\). Следовательно, \(PA = PM +MA = PM + \frac{1}{2}AB = PN + \frac{1}{2}CD = PN +ND = PD\)и \(PB = PA − AB = PD − CD = PC\).

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 25

Решение №15931: Прямоугольные треугольники \(AMD\) и \(AND\) равны

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\)

Решение №15933: Пусть \(O\) и \(Q\) — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\) (рис. 145), причем \(O\) и \(Q\) симметричны относительно прямой \(BC\). Обозначим \(∠OBC = ∠QBC = \alpha\). Поскольку треугольник \(BOC\) равнобедренный, то \(∠QCB = ∠OCB = ∠OBC = \alpha\), а так как \(BQ\) — биссектриса угла \(ABC\), то \(∠ABC = 2\alpha\). Аналогично, \(∠ACB = 2\alpha\). Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный, его биссектриса \(AM\) является высотой, а точки \(Q\) и \(M\) лежат на отрезке \(OA\). Поскольку треугольник \(AOB\) также равнобедренный (\(OA = OB \)как радиусы одной окружности), то \(∠OBA = ∠OAB\), или \(90^{o} − 2\alpha = 3\alpha\). Откуда находим, что \(\alpha = 18^{o}\). Следовательно, \(∠ACB = ∠ABC = = 2\alpha = 36^{o}\)

Ответ: \(36^{o}, 36^{o}, 108^{o}\)

Решение №15934: Эта точка — основание высоты, проведенной из вершины \(A\).

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: \(45^{o}, 45^{o}, 90^{o}\)

Решение №15936: Проведите медиану из вершины прямого угла.

Ответ: \(30^{o}, 60^{o}\)

Решение №15937: \(BK ⊥ MN\)

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: Окружность, построенная на отрезке с концами в данных точках как на диаметре.

Решение №15939: Пусть \(M\) — данная точка окружности с центром \(O\) (рис. 146), \(AB\) — данная хорда. Если \(AB\) — диаметр, то искомая хорда — также диаметр. Если \(AB\) — хорда, не являющаяся диаметром, \(MN\) — искомая хорда, а \(K\) — ее середина, то \(OK ⊥ MN\), т. е. радиус \OM\ виден из точки \(K\) под прямым углом, значит, середина искомой хорды \(MN\) лежит на окружности с диаметром \(OM\).

Ответ: NaN

Решение №15940: Пусть \(P\) — точка пересечения биссектрис треугольника \(ABC\) (рис. 149), а \(Q\) — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\). Тогда отрезок \(PQ\) виден из точек \(B\) и \(C \) под прямым углом

Ответ: NaN

Решение №15941: \(OK, OL, OM и ON\) — биссектрисы равнобедренных треугольников \(AOB, BOC, COD и DOA\), проведенные к основаниям (рис. 150).

Ответ: NaN

Решение №15942: Окружность с центром \(B\) и радиусом \(BA\). Указание. Если точка \(M\) симметрична точке \(A\) относительно некоторой прямой (рис. 152), проходящей через точку \(B\), то \(MB = BA\).

Ответ: NaN

Решение №15943: Предположим, что нужная секущая построена (рис. 153). Пусть \(O_{1}\) и \(O_{2}\) — центры данных окружностей, \(r\) и \(R\) — их радиусы \((r < R)\), \(M\) — общая точка этих окружностей, \(A\) и \(B\) — концы секущей (\(A\) на первой окружности, \(B\) — на второй), проходящей через точку \(M\), \(AB = a\) — данный отрезок. Пусть \(P\) и \(Q\) — проекции точек \(O_{1}\) и \(O_{2}\) на прямую \(AB\). Тогда \(P\) и \(Q\) — середины хорд \(AM\) и \(BM\) данных окружностей. Если \(F\) — проекция точки \(O_{1}\) на прямую \(O_{2}Q\), то в прямоугольном треугольнике \(O_{1}FO_{2}\) известен катет: \(O_{1}F = PQ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник \(O_{1}FO_{2}\) по гипотенузе \(O_{1}O_{2} и катету \(O_{1}F = \frac{1}{2}a\) и через точку \(M\) проводим прямую, параллельную \(O_{1}F\).

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 12

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {1,5;0,4;2/3}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {2;0,5;0,25}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3,5;8,5}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 6

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {2;4}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {1, 3, 5 или 7}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {6 = 2 · 5−2 · 2}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {8 = 2·11−2·7}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {5 = 7·7−4·11}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2.5

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {3/7;4/7}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {2/7} и {5/7}; {2/}3 и {5/3}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: {m/(m+n) и n/(m + n); m/(m − n) и n/(m − n); m/(n − m) и n/(n − m)}

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: 2/3

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: На луче {MA} без точки {M} ({M} – середина отрезка {AB})

Решение №15961: По условию две данные прямые \( l_{1}\) и \(l_{2}\) пересекаются в некоторой точке \(О\). Третья прямая \(l_{3}\) либо проходит через точку \(О\) (рис. 1, а), либо не проходит через эту точку. Во втором случае прямая \(l_{3}\) пересекает прямые \(l_{1}\) и \(l_{2}\) в разных точках (рис. 1, б), поскольку единственная общая точка прямых \(l_{1}\) и \(l_{2}\)- это точка \(О\). В первом случае прямые имеют одну общую точку, а во втором случае прямые имеют три общие точки.

Ответ: Одну или три.

Решение №15962: Пусть \(О\) — точка пересечения прямых \(АВ\) и \(CD\) (рис. 2). Прямая \(АВ\) пересекает отрезок \(СD\), поэтому точка \(О\) лежит между точками \(С\) и \(D\), т. е. она лежит на отрезке \(CD\). Прямая \(CD\) пересекает отрезок \(АВ\), поэтому точка \(О\) лежит между точками \(А\) и \(В\), т. е. она лежит на отрезке \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15963: Как было показано при разборе примера 1, возможны два случая: три прямые пересекаются либо в одной точке, либо в трёх точках. В первом случае они разделяют плоскость на 6 частей, а во втором на 7 частей.

Ответ: На 6 или на 7.