Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, начальные тригонометрические сведения, точка. Прямая. Луч,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Точки \(А\), \(В\), \(С\), \(D\) не лежат на одной прямой, прямая \(АВ\) пересекает отрезок \(CD\), прямая \(CD\) пересекает отрезок \(АВ\). Докажите, что отрезки \(АВ\) и \(CD\) пересекаются.

Ответ

NaN

Решение № 15962:

Для решения задачи определения расположения точек на прямой \(AB\), расстояние от которых до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим координаты точек \(A\) и \(B\) на числовой прямой. Пусть координата точки \(A\) равна \(a\), а координата точки \(B\) равна \(b\).</li> <li>Предположим, что \(a < b\). Если \(a > b\), то можно переобозначить точки, поменяв их местами, чтобы \(a < b\).</li> <li>Рассмотрим произвольную точку \(X\) на числовой прямой с координатой \(x\).</li> <li>Запишем условие, что расстояние от точки \(X\) до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\): \[ |x - a| > |x - b| \] </li> <li>Рассмотрим случаи для \(x\): <ul> <li>Если \(x < a\), то: \[ |x - a| = a - x \quad \text{и} \quad |x - b| = b - x \] Условие принимает вид: \[ a - x > b - x \] что эквивалентно: \[ a > b \] что противоречит нашему предположению \(a < b\). Следовательно, таких точек \(x < a\) не существует. </li> <li>Если \(a \leq x \leq b\), то: \[ |x - a| = x - a \quad \text{и} \quad |x - b| = b - x \] Условие принимает вид: \[ x - a > b - x \] что эквивалентно: \[ 2x > a + b \] что эквивалентно: \[ x > \frac{a + b}{2} \] Следовательно, такие точки \(x\) находятся в интервале \(\left( \frac{a + b}{2}, b \right]\). </li> <li>Если \(x > b\), то: \[ |x - a| = x - a \quad \text{и} \quad |x - b| = x - b \] Условие принимает вид: \[ x - a > x - b \] что эквивалентно: \[ -a > -b \] что эквивалентно: \[ a < b \] что соответствует нашему предположению \(a < b\). Следовательно, такие точки \(x\) находятся в интервале \((b, \infty)\). </li> </ul> </li> <li>Объединим найденные интервалы: \[ \left( \frac{a + b}{2}, b \right] \cup (b, \infty) \] </li> </ol> Таким образом, точки, расстояние от которых до точки \(A\) больше, чем до точки \(B\), находятся в интервале \(\left( \frac{a + b}{2}, \infty \right)\). Ответ: \(\left( \frac{a + b}{2}, \infty \right)\)