№15935

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Окружность и круг, Основные свойства и определения круга,

Задача в следующих классах: 7 класс 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Гордин Р. К. Г68 Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.

Условие

Центр окружности, описанной около треугольника, симметричен центру окружности, вписанной в этот треугольник, относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника.

Ответ

\(36^{o}, 36^{o}, 108^{o}\)

Решение № 15933:

Пусть \(O\) и \(Q\) — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника \(ABC\) (рис. 145), причем \(O\) и \(Q\) симметричны относительно прямой \(BC\). Обозначим \(∠OBC = ∠QBC = \alpha\). Поскольку треугольник \(BOC\) равнобедренный, то \(∠QCB = ∠OCB = ∠OBC = \alpha\), а так как \(BQ\) — биссектриса угла \(ABC\), то \(∠ABC = 2\alpha\). Аналогично, \(∠ACB = 2\alpha\). Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный, его биссектриса \(AM\) является высотой, а точки \(Q\) и \(M\) лежат на отрезке \(OA\). Поскольку треугольник \(AOB\) также равнобедренный (\(OA = OB \)как радиусы одной окружности), то \(∠OBA = ∠OAB\), или \(90^{o} − 2\alpha = 3\alpha\). Откуда находим, что \(\alpha = 18^{o}\). Следовательно, \(∠ACB = ∠ABC = = 2\alpha = 36^{o}\)