Решение №14679: \( \frac{\left (25^{\frac{1}{2\log _{49}25}} +2\log _{2}\log _{2}\log _{2}a^{2\log _{a}4} *4^{ \frac{2}{ \log _{3}4}}-a^{2} \right )}{1-a} = \frac{\left ( \left ( 25^{\log _{25}49} \right )^{ \frac{1}{2}} +2\log _{2}\log _{2}4 \right ) *\left ( 4^{2\log _{4}3} \right )^{-1} -a^{2}}{1-a} = \frac{\left ( \left ( 49 \right )^{\frac{1}{2}} +2log_{2}2 \right ) *9^{-1} -a^{2}}{1-a} =\frac{\left ( 7+2 \right ) * \frac{1}{9} -a^{2}}{1-a} =\frac{1-a^{2}}{1-a}=1+a )\.

Ответ: \( 1+a )\

Решение №14680: \( \left ( \log _{a}b+\log _{b}a+2 \right )\left ( \log _{a}b -\log _{ab}b \right ) \log _{b}a -1 =\left ( \log _{a}b+\frac{1}{\log _{a}b}+2 \right ) *\left ( \log _{a}b-\frac{\log _{a}b}{\log _{a}ab} \right )\frac{1}{\log _{a}b}-1=\frac{\log _{a}^{2}b+2\log _{a}b+1}{\log _{a}b} * \left ( \log _{a}b-\frac{\log _{a}b}{\log _{a}a+\log _{a}b} \right ) * \frac{1}{\log _{a}b}-1=\frac{\left ( \log _{a}b+1 \right )^{2}}{\log _{a}b}*\left ( \log _{a}b-\frac{\log _{a}b}{1+\log _{a}b} \right )\frac{1}{\log _{a}b}-1=\frac{\left ( \log _{a}b+1 \right )^{2}}{\log _{a}b}\log _{a}b\left ( 1-\frac{1}{1+\log _{a}b} \right )\frac{1}{\log _{a}b}-1=\frac{\left ( \log _{a}b+1 \right )^{2} \left ( 1 +\log _{a}b-1 \right )}{ \left ( 1+\log _{a}b \right )\log _{a}b}-1=\log _{a}b+1-1= \log _{a}b )\.

Ответ: \( \log _{a}b )\

Решение №14681: \( \frac{1-\log _{a}^{3}b}{\left ( \log _{a}b+\log _{b}a+1 \right )*\log _{a}\frac{a}{b}}=\frac{\left ( 1-\log _{a}b \right )\left ( 1+\log _{a}b+\log _{a}^{2}b \right )}{\left ( \log _{a}b+\frac{1}{\log _{a}b}+1 \right )\left ( \log _{a}a-\log _{a}b \right )}=\frac{\left ( 1-log_{a}b \right )\left ( 1+log_{a}b+log_{a}^{2}b \right )\log _{a}b}{\left ( \log _{a}^{2}b+1+\log _{a}b \right )\left ( 1-\log _{a}b \right )}=\log _{a}b )\.

Ответ: \( \log _{a}b )\

Решение №14685: \( \sqrt{25^{\frac{1}{\log _{6}5}}+49^{\frac{1}{\log _{8}7}}}=\sqrt{5^{2\log _{5}6}+7^{2\log _{7}8}}=\sqrt{5^{\log _{5}6^{2}}+7^{\log _{7}8^{2}}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10 \)

Ответ: 10

Решение №14686: \( 81^{\frac{1}{\log _{5}3}}+27^{\log _{9}36}+3 ^{\frac{4}{\log _{7}9}}=3^{4\log _{3}5}+3^{\frac {3}{2}\log _{3}36}+3^{\frac{4}{2}\log _{3}7}=5^{4}+36^{\frac{3}{2}}+49=625+216+49= 890 )\.

Ответ: 890

Решение №14687: \( -\log _{2}\log _{2}\sqrt{\sqrt[4]{2}}=-\log _{2}\log _{2}2^{\frac{1}{8}}=-\log _{2}\frac{1}{8}\log _{2}2=-\log _{2}2^{-3}=3 )\.

Ответ: 3

Решение №14688: \( -\log _{3}\log _{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=-\log _{3}\log _{3}3^{\frac{1}{9}}=-\log _{3}\frac{1}{9}\log _{3}3=-\log _{3}3^{-2}=2 )\.

Ответ: 2

Решение №14689: \( \frac{( 27^{\frac{1}{\log _{2}3}}+5^{\log _{25}49} )\cdot ( 81^{\frac{1}{\log _{4}9}}-8^{\log _{4}9} )}{3+5^{\frac{1}{\log _{16}25}} \cdot 5^{log _{5}3} }=\frac{\left ( \left ( 3^{3} \right )^ {\log _{3}2}+5^{\log _{5}27^{2}} \right )\left ( \left ( 9^{2} \right )^{\log _{9}4}-\left ( 2^{3} \right )^ {log_{2}23^{2}} \right )}{3+5^{\log _{5}24^{2}}* 3}=\frac{\left ( 3^{\log _{3}2^{3}}+5^{\log _{5}7} \right )\left ( 9^{\log ^{_{9}4^{2}}}-2^{\log _{2}3 ^{3}} \right )}{3+5^{\log _{5}4}*3}=\frac{\left ( 2^{3}+7 \right )\left ( 4^{2}-3^{3} \right )}{3+4*3}=\frac{15*\left ( -11 \right )}{15}=-11 )\.

Ответ: -11

Решение №14690: \( 36^{\log _{6}5}+10^{1-\lg 2}-3^{\log _{9}36}=6^{2\log _{6}5}+\frac{10}{10^{\lg 2}}-3^{\log _{3}26^{2}}=6^{\log _{6}5^{2}}+\frac{10}{2}-3^{\log _{3}6}=5^{2}+5-6=24 )\.

Ответ: 24

Решение №14691: \( \left ( 81^{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\log _{9}4}+25 ^{\log _{125}8} \right )*49^{\log _{7}2}=\left ( \frac{81^{\frac{1}{4}}}{\left ( 9^{2} \right )^ {\frac{1}{2}\log _{9}4}}+5^{2\log _{5}32^{3}} \right )*7^{2\log _{7}2}=\left ( \frac{3}{4}+4 \right )*4=19 )\.

Ответ: 19

Решение №14692: \( \frac{81^{\frac{1}{\log _{5}9}}+3^{\frac{3}{\log _{\sqrt{6}}3}}}{409}*\left ( \left ( \sqrt{7} \right )^{\frac{2}{\log _{25}7}}-125^{\log _{25}6} \right )=\frac{9^{2\log _{9}5}+3^{3\log _{3}\sqrt{6}}} {409}*\left ( \left ( 7^{\frac{1}{2}} \right )^{2\log _{7}25}-5^{3\log _{5}26} \right )=\frac{9^{\log _{9}5^{2}}+3^{\log _{3}\left ( \sqrt{6} \right )^{3}}}{409}*\left ( 7^{\log _{7}25}-5^{\log _{5}6^{\frac{3}{2}}} \right )=\frac{\left ( 25+6^{\frac{3}{2}} \right )\left ( 25-6^{\frac{3}{2}} \right )}{409}=\frac{625-216}{409}=1 )\.

Ответ: 1

Решение №14693: \( \left ( 2^{\log _{4_{ \sqrt{2}} a}} -3^{ \log _{ 27} \left ( a^{2} +1 \right )^{3}} - 2 a \right ) : \left ( 7^{ 4\log _{ 49}a} -5^{ 0.5\log _{ \sqrt{5}}a } - 1 \right ) = \left ( 2^{\log _{2}a^{4}} - 3^{ \log _{3} \left ( a^{2} +1 \right )} - 2 a \right ) : \left ( 7^{ \log _{ 7}a^{2}} -5^{ \log _{ 5}a } - 1 \right ) = \left ( a^{4} -\left ( a^{2} +1 \right ) -2a \right ) : \left ( a^{2} -a -1 \right )=\frac{a^{4} -a^{2}-2a-1}{a^{2}-a-1} = \frac{\left ( a^{2}-a-1 \right )}{a^{2}-a-1} *\left ( a^{2}+a+1 \right ) =a^{2}+a+1 )\.

Ответ: \( a^{2}+a+1 )\

Решение №14694: \( \frac{\log _{a}\sqrt{a^{2}-1}*\log _{1/a}^{2}\sqrt{a^{2}-1}}{\log _{a^{2}}\left ( a^{2}-1 \right )*\log _{\sqrt[3]{a}} \sqrt[6]{a^{2}-1}} =\frac{\frac{1}{2}\log _{a}\left ( a^{2}-1 \right )*\frac{1}{4}\log _{a}^{2}\left ( a^{2}-1 \right )}{\frac{1}{2}\log _{a}\left ( a^{2}-1 \right )*\frac{1}{2}\log _{a}\left ( a^{2}-1 \right )} =\frac{1}{2}\log _{a}\left ( a^{2}-1 \right ) =\log _{a}\sqrt{a^{2}-1} )\.

Ответ: \( \log _{a}\sqrt{a^{2}-1} )\

Решение №14695: \( a^{\frac{2}{\log _{b}a}+1}*b-2a^{\log _{a}b+1}*b^{\log _{b}a+1}+ab^{\frac{2}{\log _{a}b}+1}=a*a^{2\log _{a}b}*b-2a*a^{\log _{a}b}*b*b^{\log _{b}a}+a*b*b^{2\log _{b}a}=a*a^{\log _{a}b^{2}}*b-2a*b*b*a+a*b*b^{\log _{b}a^{2}}=ab^{2}b-2a^{2}b^{2}+aba^{2}=ab^{3}-2a^{2}b^{2}+aba^{2}=ab^{3}-2a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab\left ( b^{2}-2ab+a^{2} \right )=ab\left ( b-a \right )^{2}=ab\left ( a-b \right )^{2} )\.

Ответ: \( ab\left ( a-b \right )^{2} )\

Решение №15092: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 9-2^{x}> 0, & & \\ 3-x\neq 0, & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3\neq x< \log _{2}9 \) Из условия \( \log _{2}\left ( 9-2^{x} \right )=3-x \Leftrightarrow 9-2^{x}=2^{3-x} \Leftrightarrow 2^{2x}-9*2^{x}+8=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( \left ( 2^{x} \right )_{1}=1 \), откуда \( x_{1}=0 \), или \( \left ( 2^{x} \right )_{2}=8 \), откуда \( x_{2}=3; x_{2}=3 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Решение №15200: Перепишем уравнение в виде \( 3^{2x}+2^{x}*3^{x}-2*2^{2x}=0 \), и разделим его на \( 2^{2x}\neq 0 \) Тогда \( \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}+\left ( \frac{3}{2} \right )^{x}-2=0 \Rightarrow \left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{x} \right )_{1}=-2 \), (нет решений) или \( \left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{x} \right )_{2}=1 \Rightarrow x=0 \)

Ответ: 0

Решение №15707: Преобразуем уравнение: \( 27+9*2^{4x}-2^{6x}-27*2^{2x}=8*2^{3x} \Leftrightarrow 2^{6x}-9*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{2x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{6x}-2^{4x}-8*2^{4x}+8*2^{3x}+27*2^{x}-27=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{2x}-1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow 2^{4x}\left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{x}+1 \right )-8*2^{3x}\left ( 2^{x}-1 \right )+27\left ( 2^{x}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( 2^{x}-1 \right \)left ( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27 \right )=0 \), откуда \( 2^{x}=1, x_{1}=0 \) Уравнение \( 2^{5x}+2^{4x}-8*2^{3x}+27=0 \) решений не имеет.

Ответ: 0

Решение №15708: ОДЗ: \( x^{3}+2x+1> 0 \) Из условия \( 16*5^{2x-1}-2^{x-1}-0.048=0 \), или \( \lg \left ( x^{3}+2x+1 \right ) \) Перепишем первое уравнение в виде \( \frac{16}{5}*5^{2x}-\frac{2}{5}*5^{x}-0.048=0 \Leftrightarrow 16*5^{2x}-2*5^{x}-0.24=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x} \), получим \( 5^{x}=-\frac{3}{40} \) (нет решений), или \( 5^{x}=5^{-1} \Leftrightarrow x_{1}=-1 \) (не подходит по ОДЗ). Из второго уравнения имеем \( x^{3}+2x+1=1 \Leftrightarrow x^{3}+2x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}+2 \right )=0, x_{3}=0, x^{2}+2\neq 0 \)

Ответ: 0

Решение №15709: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( 4*2^{2\lg x}-2^{\lg x}*3^{\lg x}-18*3^{2\lg x}=0 \) Разделив его на \( 3^{2\lg x} \), получим \( 4*\left ( \frac{2}{3} \right )^{2\lg x}-\left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}-18=0 \Rightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=-2 \) (нет решений), или \( \left ( \frac{2}{3} \right )^{\lg x}=\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2} \Rightarrow \lg x=-2 \) Тогда \( x=10^{-2}=0.01 \)

Ответ: 0.01

Решение №15710: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0& & & \\ 3x+1\geq 0, x> 0 & & & \\ lg\left ( \sqrt{3x+1}+4 \right \)neq lg2x & & & \end{matrix} \right \) Из условия \( \lg 100-\lg 4+\lg 0.12=\lg \left ( \sqrt{3x+1}+4 \right )-\lg 2x\Rightarrow \lg \frac{100*0.12}{4}=\lg \frac{\sqrt{3x+1}+4}{2x}, 3=\frac{\sqrt{3x+1}+4}{2x}\Rightarrow \sqrt{3x+1}=6x-4, 6x-4\geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+1=36x^{2}-48x+16 & & \\ 6x -4 \geq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12x^{2}17x+5=0 & & \\ x \geq \frac{2}{3} & & \end{matrix}\right \) Корнями уравнения будут \( x_{1}= \frac{5}{ 12}, x_{2}=1; x_{1}= \frac{5}{12} \) не подходит.

Ответ: 1

Решение №15711: Из условия \( \log _{3}\left ( 81^{x}+3^{2x} \right )=\log _{3}90, 9^{2x}+9^{x}-90=0 \), откуда найдем \( 9^{x}=-10 \), что не подходит, или \( 9^{x}=9 \), откуда имеем \( x=1 \) .

Ответ: 1

Решение №15712: \( x\left ( lg5-lg10 \right )=\lg \left ( 2^{x}+1 \right )-\lg 6, x\lg \frac{5}{10}=\lg \frac{2^{x}+1}{6}, \lg 2^{-x}=\lg \frac{2^{x}+1}{6} , 2^{-x} = \frac{2^{x} +1}{ 6} , 2^{ 2x} +2^{ x} -6 =0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-3 \) (не подходит), \( 2^{x}=2 \), откуда имеем \( x = 1 \)

Ответ: 1

Решение №15713: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 4*3^{x}-6> 0 & & \\ 9^{x}-6> 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( \log _{2}\frac{4*3^{x}-6}{3^{2x}-6}=1, \frac{4*3^{x}-6}{3^{2x}-6}=2\Rightarrow 3^{2x}-2*3^{x}-3=0 \) Решая его как квадратное относительно \( 3^{x} \), найдем \( 3^{x}=-1,\varnothing \); или \( 3^{x}=3 \), откуда \( x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15714: Запишем уравнение в виде \( \frac{5^{2x}}{5}-5^{2x}=-2^{2x}-4*2^{2x}, -\frac{4}{5}*5^{2x}=-5*2^{2x}, \left ( \frac{5}{2} \right )^{2x}=\left ( \frac{5}{2} \right )^{2}, x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15715: Имеем \( 5*5^{x^{3}}-5\frac{5}{5^{x^{3}}}-24=0 \Leftrightarrow 5*\left ( 5^{x^{3}} \right )^{2}-24*5^{x^{3}}-5=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 5^{x^{3}} \), получим \( 5^{x^{3}}=-\frac{1}{5} \) (нет решений) \( 5^{x^{3}}=5 \Rightarrow x^{3}=1, x=1 \)

Ответ: 1

Решение №15716: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ 0< x-0.5\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0.5< x\neq 1.5 \) Умножив обе части уравнения на \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right \)neq 0 \), получим \( \log _{x+1}^{2}\left ( x-0.5 \right )=1 \Rightarrow \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=-1 \Rightarrow x-0.5=\frac{1}{x+1}, 2x^{2}+x-3=0, x_{1}=-\frac{3}{2} \) (не подходит по ОДЗ), \( x_{2}=1 \); или \( \log _{x+1}\left ( x-0.5 \right )=1, x-0.5=x+1\), нет решений.

Ответ: 1

Решение №15717: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x+1\neq 1, & & \\ x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -1< x\neq 0 \) Перейдем к основанию 5. Имеем \( \frac{5}{\log_{5}\left ( x+1 \right )}*\left ( -3 \right \)log_{5}\left ( x+1 \right )=\frac{x-4}{x}, -3x=\frac{x-4}{x} \), при \( \log_{5}\left ( x+1 \right \)neq 0 \) Отсюда \( 3x^{2}+x-4=0, x_{1}=-\frac{4}{3}, x_{2}=1; x_{1}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15718: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+2x-1> 0, & & & \\ 0< x^{3}+2x^{2}-3x+5\neq 1 & & & \\ 0< x\neq \frac{1}{2} & & & \end{matrix}\right. \) По формуле замены основания имеем \( \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=\log _{2x}2x \Leftrightarrow \log _{x^{3}+2x^{2}-3x+5}\left ( x^{3}+3x^{2}+2x-1 \right )=1 \Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+2x-1=x^{3}+2x^{2}-3x+5 \Leftrightarrow x^{2}+5x-6=0 \Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=-6; x_{2}=-6 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Решение №15719: ОДЗ: \( 3^{x}-5^{2-x}> 0. \log _{5}8+2\log _{5}5-\log _{5}\left ( 3^{x}-25*5^{-x} \right )=x\Leftrightarrow \log _{5}\frac{8*25}{3^{x}-25*5^{-x}} = x \) , откуда \( \frac{200}{3^{x}-25*5^{-x}}=5^{x} \Leftrightarrow 15^{ x} = 15^{ 2} \) Таким образом, \( x= 2 \)

Ответ: 2

Решение №15720: ОДЗ: \( 3^{ x } - 8 > 0 \) По определению логарифма имеем \( 3^{x}-8=3^{2-x}, 3^{x}-8=\frac{9}{3^{x}}, 3^{2x}-8*3^{x}-9=0 \), откуда, решая это уравнение как квадратное относительно \( 3^{x} \), найдем \( 3^{x}=-1 , \O \); или \( 3^{x}= 9 \), откуда \( x = 2 \)

Ответ: 2