Решение №15835: Предположим, что три точки \(А\), \(В\), \(С\) окружности с центром \(О\) лежат на прямой \(l\). Тогда точка \(О\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\) и на серединном перпендикуляре к отрезку \(ВС\). Середины отрезков \(АВ\) и \(ВС\) не совпадают, поэтому из точки \(О\) можно провести два перпендикуляра к прямой \(l\). Это противоречит тому, что из данной точки можно провести только один перпендикуляр к данной прямой, поэтому предположение неверно.

Ответ: NaN

Решение №15836: Рассмотрим окружность, диаметром которой служит диагональ \(АС\) прямоугольника \(АВСD\) . Углы \(АВС\) и \(АDС\) прямые, поэтому точки \(В\) и \(D\) лежат на этой окружности.

Ответ: NaN

Решение №15837: Середины \(М\) и \(N\) сторон \(АС\) и \(ВС\) равностороннего треугольника \(АВС\) являются основаниями высот, проведённых из вершин \(В\) и \(А\). Поэтому углы \(АМВ\) и \(ANB\) прямые, а значит, точки \(М\) и \(N\) лежат на окружности, построенной на отрезке \(АВ\) как на диаметре.

Ответ: NaN

Решение №15838: Точка \(O_{1}\) равноудалена от точек \(А\) и \(В\), поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\). Точка \(O_{2}\) тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15839: Предположите, что окружности с центрами \(О_{1}\) и \(O_{2} пересекаются в трёх точках \(А\), \(В\) и \(С\). Эти точки не могут лежать на одной прямой, поскольку прямая не может пересекать окружность в трёх точках. Прямые \(АВ\) и \(АС\) перпендикулярны прямой \(O_{1}O{2}\). Эти прямые не совпадают, поэтому из точки \(А\) проведены два перпендикуляра к одной прямой.

Ответ: NaN

Решение №15840: Середины хорд, которые окружности высекают на прямой, совпадают.

Ответ: NaN

Решение №15841: Пусть диаметр \(АВ\) проходит через середину \(М\) хорды \(CD\). Предположите, что хорда \(CD\) не является диаметром. Тогда центр \(О\) окружности не лежит на хорде \(СD\), в частности, точки \(О\) и \(М\) различны (рис. 127). Точки \(О\) и \(М\) лежат на диаметре \(АВ\) и равноудалены от точек \(С\) и \(D\), поэтому прямая \(АВ\) — серединный перпендикуляр к хорде \(CD\).

Ответ: NaN

Решение №15842: Предположите, что общая середина \(М\) хорд \(АВ\) и \(CD\) не совпадает с центром О окружности. Тогда обе прямые \(АВ\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(ОМ\).

Ответ: NaN

Решение №15879: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит хорду на отрезки длиной 5 и 11, поэтому \(СМ = З\) (рис. ниже). Треугольник \(СОМ\) равнобедренный прямоугольный, поэтому \(ОМ = СМ = З\).

Ответ: NaN

Решение №15880: Проведите из центра \(О\) окружности перпендикуляр \(ОМ\) к хорде. Тогда точка \(М\) — середина хорды, а расстояние от центра окружности до хорды равно \(ОМ\). Точка \(С\) пересечения хорды и диаметра делит диаметр на отрезки длиной 5 и 13, поэтому \(СО = 4\) (рис. ниже). Катет \(ОМ\) прямоугольного треугольника \(СОМ\) лежит против угла \(30^{\circ}\) , поэтому \(ОМ = \frac{1}{2} CO=2\)

Ответ: NaN

Решение №15881: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности, \(ОМ = ОN\) . Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. ниже).

Ответ: NaN

Решение №15882: Пусть \(М\) и \(N\) — середины хорд \(АВ\) и \(CD\), \(О\) — центр окружности. Тогда прямоугольные треугольники \(АОМ\) и \(CON\) равны по гипотенузе и катету (рис. 131), поэтому прямоугольные треугольники \(РОМ\) и \(PON\) тоже равны по гипотенузе и катету.

Ответ: NaN

Решение №15883: Центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами прямоугольника.

Ответ: NaN

Решение №15884: Расстояние от середины хорды до точки пересечения хорд равно 2, поэтому центр окружности, точка пересечения хорд и середины хорд являются вершинами квадрата, сторона которого равна 2.

Ответ: NaN

Решение №15885: Пусть стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) равны и точка \(М\) — середина основания \(АС\). Тогда \(\angle AMB = 90^{\circ}\) , поэтому точка \(М\) лежит на окружности с диаметром \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15886: Пусть окружность с диаметром \(АВ\) проходит через середину \(М\) стороны \(АС\). Тогда \(ВМ\) — высота треугольника и его медиана. Треугольник, в котором медиана является высотой, равнобедренный.

Ответ: NaN

Решение №15887: Пусть окружность с диаметром \(АС\) пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) в точках \(D\) и \(Е\), причём \(АD = СЕ\). Тогда прямоугольные треугольники \(АСЕ\) и \(CAD\) равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle A = \angle C\).

Ответ: NaN

Решение №15888: Прямоугольные треугольники \(ADM\) и \(AND\) равны по гипотенузе и острому углу.

Ответ: NaN

Решение №15889: Все диаметры окружности равны, поэтому хорду \(АВ\) можно сравнить с диаметром \(АС\). Если хорда \(АВ\) отлична от диаметра, то диаметр \(АС\) — гипотенуза прямоугольного треугольника, а хорда \(АВ\) — его катет.

Ответ: NaN

Решение №15890: Отрезок \(СК\) перпендикулярен гипотенузе \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15891: Пусть окружность, построенная на катете \(АС\) прямоугольного треугольника \(АВС\) как на диаметре, проходит через середину \(М\) гипотенузы \(АВ\). Тогда угол \(АМС\) прямой, поэтому медиана \(СМ\) совпадает с высотой. Следовательно, треугольник \(АВС\) равнобедренный .

Ответ: NaN

Решение №15892: Точка \(D\) основание высоты, проведённой из вершины \(А\).

Ответ: NaN

Решение №15893: Точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на окружности, диаметром которой служит отрезок \(АВ\).

Ответ: NaN

Решение №15894: Проведите из середины гипотенузы перпендикуляры к катетам (рис. ниже). Они разбивают прямоугольный треугольник на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Каждую из этих трёх фигур можно накрыть кругом диаметром \(\frac{c}{2}\).

Ответ: NaN

Решение №15895: Непересекающиеся хорды разбивают круг на З части, а пересекающиеся на 4.

Ответ: NaN

Решение №15896: Если хорды попарно не пересекаются, то они разбивают круг на 4 части. Если две хорды пересекаются, а третья их не пересекает, то они разбивают круг на 5 частей. Если две хорды пересекаются, а третья либо пересекает только одну из них, либо проходит через их точку пересечения, то они разбивают круг на 6 частей. Если хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны в трёх разных точках, то они разбивают круг на 7 частей.

Ответ: NaN

Решение №15897: Число частей наибольшее в том случае, когда хорды попарно пересекаются и все точки пересечения различны, а наименьшее в том случае, когда хорды попарно не пересекаются.

Ответ: NaN

Решение №15898: Число частей наибольшее, когда окружности попарно пересекаются и все точки пересечения различны

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN