Решение №40585: ### а) \(\vec{a}(2; -9)\), \(\vec{b}(6; 3)\)

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (2, -9), \quad \vec{b} = (6, 3) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (2 + 6, -9 + 3) = (8, -6) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (-3, 0) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (0 + (-3), 4 + 0) = (-3, 4) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (-1, 5), \quad \vec{b} = (1, -5) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (-1 + 1, 5 + (-5)) = (0, 0) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 0^2} = \sqrt{0} = 0 \]

Ответ: NaN

Решение №40586: Для решения задачи найти координаты и длину вектора \(\vec{c}\), равного \(\vec{a} - \vec{b}\), выполним следующие шаги:

1. Выразим вектор \(\vec{c}\) как разность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\) для каждого случая:
   1. Для \(\vec{a}(-4; 7)\) и \(\vec{b}(8; 2)\): \[ \vec{c} = (-4 - 8; 7 - 2) = (-12; 5) \]
   2. Для \(\vec{a}(2; -2)\) и \(\vec{b}(-3; 3)\): \[ \vec{c} = (2 - (-3); -2 - 3) = (2 + 3; -2 - 3) = (5; -5) \]
   3. Для \(\vec{a}(0; 1)\) и \(\vec{b}(0; -2)\): \[ \vec{c} = (0 - 0; 1 - (-2)) = (0; 1 + 2) = (0; 3) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\) для каждого случая. Длина вектора \(\vec{c}\) определяется формулой: \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} \]
   1. Для \(\vec{c}(-12; 5)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]
   2. Для \(\vec{c}(5; -5)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
   3. Для \(\vec{c}(0; 3)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3 \]

1. \(\vec{c}(-12; 5)\), \(|\vec{c}| = 13\)
2. \(\vec{c}(5; -5)\), \(|\vec{c}| = 5\sqrt{2}\)
3. \(\vec{c}(0; 3)\), \(|\vec{c}| = 3\)

Ответ: NaN

Решение №40587: Для решения задачи нахождения вектор-суммы \(\vec{a} + \vec{b}\) и вектор-разности \(\vec{a} - \vec{b}\) выполним следующие шаги:

а) \(\vec{a}(-3; -1)\), \(\vec{b}(-1; 2)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (-3, -1), \quad \vec{b} = (-1, 2) \]
2. Найдем вектор-сумму \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (-3, -1) + (-1, 2) = (-3 - 1, -1 + 2) = (-4, 1) \]
3. Найдем вектор-разность \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (-3, -1) - (-1, 2) = (-3 + 1, -1 - 2) = (-2, -3) \]

б) \(\vec{a}(2; -7)\), \(\vec{b}(2; 3)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (2, -7), \quad \vec{b} = (2, 3) \]
2. Найдем вектор-сумму \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (2, -7) + (2, 3) = (2 + 2, -7 + 3) = (4, -4) \]
3. Найдем вектор-разность \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (2, -7) - (2, 3) = (2 - 2, -7 - 3) = (0, -10) \]

а) \(\vec{a}(-3; -1)\), \(\vec{b}(-1; 2)\)

• Вектор-сумма: \(\vec{a} + \vec{b} = (-4, 1)\)
• Вектор-разность: \(\vec{a} - \vec{b} = (-2, -3)\)

б) \(\vec{a}(2; -7)\), \(\vec{b}(2; 3)\)

• Вектор-сумма: \(\vec{a} + \vec{b} = (4, -4)\)
• Вектор-разность: \(\vec{a} - \vec{b} = (0, -10)\)

Ответ: а) \(\vec{(-4; 1)}\) и \(\vec{(-2; -3)}\); б) \(\vec{(4; -4)}\) и \(\vec{(0; -10)}\).

Решение №40588: Для решения задачи о равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(a\).
2. Определим величины векторов: \[ |\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = a \]
3. Перейдем к решению каждого пункта:
   1. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{BC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = a \]
   2. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = a \]
   3. Найдем \(|\vec{CA} - \vec{CB}|\):
      1. Векторы \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\) образуют угол \(60^\circ\).
      2. Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 - 2|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos(60^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = a \]
   4. Найдем \(|\vec{AB} - \vec{BC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = a\sqrt{3} \]

Ответ: а) \(а\); б) \(а\sqrt{3}\); в) \(а\); г) \(а\sqrt{3}\).

Решение №40589: Для решения задачи в треугольнике \(ABC\) с углами \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\) и стороной \(AC = a\), найдем величины векторов:

1. Найдем длины сторон треугольника \(ABC\):
   • Поскольку \(\angle B = 90^\circ\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
   • Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:
   • \(BC = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
   • \(AB = a \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
2. Найдем \(|\vec{BA} + \vec{AC}|\):
   • Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:
   • \(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \sqrt{BA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)
3. Найдем \(|\vec{BA} + \vec{BC}|\):
   • Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:
   • \(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{9a^2 + 4a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)
4. Найдем \(|\vec{CB} - \vec{CA}|\):
   • Векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:
   • \(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \sqrt{CB^2 + CA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
5. Найдем \(|\vec{BC} - \vec{BA}|\):
   • Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{BA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:
   • \(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \sqrt{BC^2 + BA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 + 9a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)

1. \(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)
2. \(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)
3. \(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
4. \(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)

Ответ: а) \(0,5а\); б) \(а\); в) \(\fraq{a\sqrt{3}}{2}\); г) \(a\).

Решение №40590: Для доказательства того, что в четырехугольнике \(ABCD\) выполняется равенство \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\).
2. Запишем вектор \(\vec{AB}\), который идет от точки \(A\) до точки \(B\).
3. Запишем вектор \(\vec{BC}\), который идет от точки \(B\) до точки \(C\).
4. Запишем вектор \(\vec{AD}\), который идет от точки \(A\) до точки \(D\).
5. Запишем вектор \(\vec{DC}\), который идет от точки \(D\) до точки \(C\).
6. Теперь сложим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AB} + \vec{BC} \] Этот вектор представляет собой путь от точки \(A\) до точки \(C\) через точку \(B\).
7. Теперь сложим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AD} + \vec{DC} \] Этот вектор представляет собой путь от точки \(A\) до точки \(C\) через точку \(D\).
8. Оба выражения \(\vec{AB} + \vec{BC}\) и \(\vec{AD} + \vec{DC}\) представляют собой вектор, который идет от точки \(A\) до точки \(C\). Следовательно, они равны: \[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC} \]

Ответ: NaN

Решение №40594: Для решения задачи найдем координаты векторов по заданным точкам. ### а) \(\vec{АВ} + \vec{a}\), где \(\vec{a} = (0; -2)\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (0 - (-1), -2 - 4) = (1, -6) \] 2. Сложим векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{АВ} + \vec{a} = (1, -6) + (0, -2) = (1 + 0, -6 + (-2)) = (1, -8) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{АВ} + \vec{a}\) равны \((1, -8)\). ### б) \(\vec{ВА} + \vec{АС}\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{ВА}\): \[ \vec{ВА} = (A_x - B_x, A_y - B_y) = (-1 - 0, 4 - (-2)) = (-1, 6) \] 2. Найдем координаты вектора \(\vec{АС}\): \[ \vec{АС} = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (3 - (-1), 5 - 4) = (4, 1) \] 3. Сложим векторы \(\vec{ВА}\) и \(\vec{АС}\): \[ \vec{ВА} + \vec{АС} = (-1, 6) + (4, 1) = (-1 + 4, 6 + 1) = (3, 7) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{ВА} + \vec{АС}\) равны \((3, 7)\). ### в) \(\vec{СВ} + \vec{АВ}\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = (B_x - C_x, B_y - C_y) = (0 - 3, -2 - 5) = (-3, -7) \] 2. Сложим векторы \(\vec{СВ}\) и \(\vec{АВ}\): \[ \vec{СВ} + \vec{АВ} = (-3, -7) + (1, -6) = (-3 + 1, -7 + (-6)) = (-2, -13) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{СВ} + \vec{АВ}\) равны \((-2, -13)\). ### Ответ: а) \((1, -8)\) б) \((3, 7)\) в) \((-2, -13)\)

Ответ: а) \(\vec{(1; -8)}\); б) \(\vec{(3; 7)}\); в) \(\vec{(-2; -13)}\).

Решение №40595: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{СВ} - \vec{СА}\), \(\vec{AВ} - \vec{СB}\) и \(\vec{AC} - \vec{АB}\). 1. **Найдем координаты точки \(B\):** Дано: \(A(0; -1)\) и \(\vec{АВ}(1; 2)\). Поскольку \(\vec{АВ} = B - A\), то: \[ B = A + \vec{АВ} = (0 + 1; -1 + 2) = (1; 1) \] 2. **Найдем координаты вектора \(\vec{СВ} - \vec{СА}\):** Дано: \(C(3; 5)\) и \(B(1; 1)\). Найдем вектор \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = B - C = (1 - 3; 1 - 5) = (-2; -4) \] Найдем вектор \(\vec{СA}\): \[ \vec{СA} = A - C = (0 - 3; -1 - 5) = (-3; -6) \] Найдем \(\vec{СВ} - \vec{СА}\): \[ \vec{СВ} - \vec{СA} = (-2; -4) - (-3; -6) = (-2 + 3; -4 + 6) = (1; 2) \] 3. **Найдем координаты вектора \(\vec{AВ} - \vec{СB}\):** Дано: \(\vec{АВ} = (1; 2)\) и \(\vec{СB} = B - C = (1 - 3; 1 - 5) = (-2; -4)\). Найдем \(\vec{AВ} - \vec{СB}\): \[ \vec{AВ} - \vec{СB} = (1; 2) - (-2; -4) = (1 + 2; 2 + 4) = (3; 6) \] 4. **Найдем координаты вектора \(\vec{AC} - \vec{АB}\):** Дано: \(\vec{AC} = C - A = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)\) и \(\vec{АB} = (1; 2)\). Найдем \(\vec{AC} - \vec{АB}\): \[ \vec{AC} - \vec{АB} = (3; 6) - (1; 2) = (3 - 1; 6 - 2) = (2; 4) \] Таким образом, координаты векторов:

1. \(\vec{СВ} - \vec{СA} = (1; 2)\)
2. \(\vec{AВ} - \vec{СB} = (3; 6)\)
3. \(\vec{AC} - \vec{АB} = (2; 4)\)

Ответ: а) \(\vec{(1; 2)}\); б) \(\vec{(3; 6)}\); в) \(\vec{(2; 4)}\).

Решение №40596: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{OA} + \vec{OB}\), \(\vec{AO} - \vec{AB}\) и \(\vec{OA} - \vec{BA}\). Даны точки: - \(O(0; 0)\) - \(A(1; -4)\) - \(B(8; 3)\) Выполним следующие шаги:

1. Найдем векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{AO}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\): \begin{align*} \vec{OA} &= (1 - 0, -4 - 0) = (1, -4) \\ \vec{OB} &= (8 - 0, 3 - 0) = (8, 3) \\ \vec{AO} &= (0 - 1, 0 - (-4)) = (-1, 4) \\ \vec{AB} &= (8 - 1, 3 - (-4)) = (7, 7) \\ \vec{BA} &= (1 - 8, -4 - 3) = (-7, -7) \end{align*}
2. Найдем вектор \(\vec{OA} + \vec{OB}\): \begin{align*} \vec{OA} + \vec{OB} &= (1, -4) + (8, 3) \\ &= (1 + 8, -4 + 3) \\ &= (9, -1) \end{align*}
3. Найдем вектор \(\vec{AO} - \vec{AB}\): \begin{align*} \vec{AO} - \vec{AB} &= (-1, 4) - (7, 7) \\ &= (-1 - 7, 4 - 7) \\ &= (-8, -3) \end{align*}
4. Найдем вектор \(\vec{OA} - \vec{BA}\): \begin{align*} \vec{OA} - \vec{BA} &= (1, -4) - (-7, -7) \\ &= (1 + 7, -4 + 7) \\ &= (8, 3) \end{align*}

Ответ: а) \(\vec{(9; -1)}\); б) \(\vec{(-8; -3)}\); в) \(\vec{(8; 3)}\).

Решение №40597: Для решения задачи о прямоугольнике \(ABCD\) с \(AB = 3\), \(BC = 4\) и точкой пересечения диагоналей \(O\), выполним следующие шаги:

1. Запишем данные: \[ AB = 3, \quad BC = 4 \]
2. Найдем длины диагоналей: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Определим координаты точек: \[ A(0, 0), \quad B(3, 0), \quad C(3, 4), \quad D(0, 4) \]

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\): \[ \vec{AB} = (3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 4) \]
2. Сложим векторы: \[ \vec{AB} + \vec{AD} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) \]
3. Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Найдем координаты точки \(O\) (точка пересечения диагоналей): \[ O\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{2}\right) = O\left(1.5, 2\right) \]
2. Найдем векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{OD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AO} = (1.5, 2), \quad \vec{OD} = \left(0 - 1.5, 4 - 2\right) = (-1.5, 2), \quad \vec{DC} = (3, 0) \]
3. Сложим векторы: \[ \vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC} = (1.5, 2) + (-1.5, 2) + (3, 0) = (1.5 - 1.5 + 3, 2 + 2 + 0) = (3, 4) \]
4. Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Найдем вектор \(\vec{BC}\): \[ \vec{BC} = (0, 4) \]
2. Вычтем векторы: \[ \vec{AO} - \vec{BC} = (1.5, 2) - (0, 4) = (1.5, 2 - 4) = (1.5, -2) \]
3. Найдем модуль разности векторов: \[ |\vec{AO} - \vec{BC}| = \sqrt{1.5^2 + (-2)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \]

Ответ: а) 5; б) 5; в) 2,5.

Решение №40598: Для решения задачи пошагово, выполним следующие действия:

1. Запишем данные задачи:
   • \(АС = 10\)
   • \(ВD = 24\)
   • \(О\) - точка пересечения диагоналей ромба.
2. Определим длины диагоналей ромба:
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • \(AO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
   • \(BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
3. Найдем \(|\vec{AD} + \vec{DB}|\):
   • Вектор \(\vec{AD} + \vec{DB}\) эквивалентен вектору \(\vec{AB}\).
   • Длина стороны ромба \(AB\) может быть найдена по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
   • Таким образом, \(|\vec{AD} + \vec{DB}| = 13\).
4. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}|\):
   • Вектор \(\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}\) эквивалентен вектору \(\vec{AC}\).
   • Длина диагонали \(AC\) равна 10.
   • Таким образом, \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}| = 10\).
5. Найдем \(|\vec{CO} - \vec{BA}|\):
   • Вектор \(\vec{CO} - \vec{BA}\) эквивалентен вектору \(\vec{CO} + \vec{AB}\).
   • Вектор \(\vec{CO} + \vec{AB}\) эквивалентен вектору \(\vec{CB}\).
   • Длина стороны ромба \(CB\) равна \(AB\), которая равна 13.
   • Таким образом, \(|\vec{CO} - \vec{BA}| = 13\).

• а) \(|\vec{AD} + \vec{DB}| = 13\)
• б) \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}| = 10\)
• в) \(|\vec{CO} - \vec{BA}| = 13\)

Ответ: а) 13; б) 10; в) 12.

Решение №40604: Для решения задачи, могут ли быть равной нулевому вектору суммы трех векторов, длины которых равны: а) 1, 2 и 9; б) 3, 5 и 8; в) 3, 4 и 5, выполним следующие шаги:

1. Обозначим векторы как \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) с длинами \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) и \(|\vec{c}|\) соответственно. Для того чтобы сумма векторов была равна нулевому вектору, необходимо, чтобы: \[ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \]
2. Известно, что сумма трех векторов равна нулю, если они могут быть расположены таким образом, чтобы образовали замкнутый треугольник. Это означает, что длины векторов должны удовлетворять неравенству треугольника: \[ |\vec{a}| + |\vec{b}| > |\vec{c}| \] \[ |\vec{a}| + |\vec{c}| > |\vec{b}| \] \[ |\vec{b}| + |\vec{c}| > |\vec{a}| \]
3. Проверим условия для каждого набора длин векторов:
   1. Длины векторов: 1, 2 и 9. \[ 1 + 2 = 3 \quad \text{и} \quad 3 < 9 \] \[ 1 + 9 = 10 \quad \text{и} \quad 10 > 2 \] \[ 2 + 9 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 1 \] Неравенство \(1 + 2 < 9\) не выполняется, следовательно, сумма векторов с длинами 1, 2 и 9 не может быть равна нулевому вектору.
   2. Длины векторов: 3, 5 и 8. \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 = 8 \] \[ 3 + 8 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 5 \] \[ 5 + 8 = 13 \quad \text{и} \quad 13 > 3 \] Неравенство \(3 + 5 = 8\) не выполняется (должно быть строгое неравенство), следовательно, сумма векторов с длинами 3, 5 и 8 не может быть равна нулевому вектору.
   3. Длины векторов: 3, 4 и 5. \[ 3 + 4 = 7 \quad \text{и} \quad 7 > 5 \] \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 > 4 \] \[ 4 + 5 = 9 \quad \text{и} \quad 9 > 3 \] Все неравенства выполняются, следовательно, сумма векторов с длинами 3, 4 и 5 может быть равна нулевому вектору.

Ответ: а) Нет; б) да; в) да.

Решение №40608: Для составления уравнения прямой, проходящей через начало координат \((0, 0)\) и точку \(A(-4, 2)\), выполним следующие шаги:

1. Запишем общий вид уравнения прямой, проходящей через начало координат: \[ y = kx \] где \(k\) — угловой коэффициент прямой.
2. Подставим координаты точки \(A(-4, 2)\) в уравнение: \[ 2 = k \cdot (-4) \]
3. Решим уравнение для нахождения \(k\): \[ 2 = -4k \] \[ k = -\frac{2}{4} \] \[ k = -\frac{1}{2} \]
4. Подставим найденное значение \(k\) в уравнение прямой: \[ y = -\frac{1}{2}x \]

Ответ: \(х + 2у = 0\).

Решение №40609: Для нахождения угла \( \angle AVS \) между векторами \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \), выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ \overrightarrow{AV} = (V_x - A_x, V_y - A_y) = (3 - 1, 1 - 5) = (2, -4) \] \[ \overrightarrow{VS} = (S_x - V_x, S_y - V_y) = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \]
2. Найдем длины векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ |\overrightarrow{AV}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{VS}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ \overrightarrow{AV} \cdot \overrightarrow{VS} = 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \]
4. Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AV} \cdot \overrightarrow{VS}}{|\overrightarrow{AV}| \cdot |\overrightarrow{VS}|} = \frac{0}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{0}{10} = 0 \]
5. Найдем угол \( \theta \) между векторами: \[ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \text{ радиан} \] \[ \theta = 90^\circ \]

Ответ: \(90^\circ\).

Решение №40610: Для решения задачи Во сколько раз длина вектора \(-3\vec{a}\) больше длины вектора \(\vec{a}\)? Верно ли, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(k\) раз больше, чем длина вектора \(\vec{a}\)? выполним следующие шаги:

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) и его длину \(|\vec{a}|\).
2. Запишем вектор \(-3\vec{a}\) и его длину \(|-3\vec{a}|\).
3. Используем свойство векторов: \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).
4. Применим это свойство к вектору \(-3\vec{a}\): \[ |-3\vec{a}| = |-3| \cdot |\vec{a}| = 3 \cdot |\vec{a}| \]
5. Сравним длины векторов: \[ |-3\vec{a}| = 3 \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(-3\vec{a}\) в 3 раза больше длины вектора \(\vec{a}\).

1. Запишем вектор \(k\vec{a}\) и его длину \(|k\vec{a}|\).
2. Используем свойство векторов: \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).
3. Если \(k\) положительное число, то: \[ |k\vec{a}| = k \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(k\) раз больше длины вектора \(\vec{a}\).
4. Если \(k\) отрицательное число, то: \[ |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(|k|\) раз больше длины вектора \(\vec{a}\).

Ответ: NaN

Решение №40612: Для решения задачи о нахождении углов между векторами в квадрате \(ABCD\), где диагонали пересекаются в точке \(O\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\) с диагоналями, пересекающимися в точке \(O\).
2. Определим угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{AD}\) проходит по стороне квадрата.
   • Угол между диагональю и стороной квадрата равен \(45^\circ\).
   Ответ: \(45^\circ\).
3. Определим угол между векторами \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\):
   • Вектор \(\vec{OB}\) проходит по половине диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{OC}\) также проходит по половине диагонали квадрата.
   • Угол между половинами диагоналей квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).
4. Определим угол между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\):
   • Вектор \(\vec{BC}\) проходит по стороне квадрата.
   • Вектор \(\vec{CD}\) также проходит по стороне квадрата.
   • Угол между сторонами квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).
5. Определим угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{DA}\):
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{DA}\) проходит по стороне квадрата в обратном направлении.
   • Угол между диагональю и стороной квадрата равен \(45^\circ\).
   Ответ: \(45^\circ\).
6. Определим угол между векторами \(\vec{AO}\) и \(\vec{AC}\):
   • Вектор \(\vec{AO}\) проходит по половине диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Угол между половиной диагонали и диагональю квадрата равен \(0^\circ\).
   Ответ: \(0^\circ\).
7. Определим угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
   • Вектор \(\vec{AB}\) проходит по стороне квадрата.
   • Вектор \(\vec{CD}\) проходит по стороне квадрата.
   • Угол между сторонами квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).

1. Угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): \(45^\circ\).
2. Угол между \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\): \(90^\circ\).
3. Угол между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\): \(90^\circ\).
4. Угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec{DA}\): \(45^\circ\).
5. Угол между \(\vec{AO}\) и \(\vec{AC}\): \(0^\circ\).
6. Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \(90^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №40617: Для решения задачи, связанной с равносторонним треугольником \(ABC\), выполним следующие шаги:

1. Начертите равносторонний треугольник \(ABC\).
2. Постройте угол между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{AB}\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{CA}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(A\).
   2. Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\). Он направлен от вершины \(A\) к вершине \(B\).
   3. Угол между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{AB}\) равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), так как в равностороннем треугольнике каждый угол равен \(60^\circ\).
3. Постройте вектор \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{AV}\). Он направлен от вершины \(A\) к вершине \(V\), где \(V\) — точка, лежащая на прямой, проходящей через \(A\) и \(C\).
   2. Рассмотрим вектор \(\frac{1}{2}\vec{AC}\). Он направлен от вершины \(A\) к середине отрезка \(AC\).
   3. Вектор \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) направлен от вершины \(A\) к точке, которая является серединой отрезка \(AC\).
   4. Угол между вектором \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) и вектором \(\vec{BC}\) равен \(90^\circ\), так как \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) перпендикулярен \(\vec{BC}\) в равностороннем треугольнике.
4. Постройте вектор \(\vec{CO} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{CA}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(A\).
   2. Рассмотрим вектор \(\vec{CB}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(B\).
   3. Вектор \(\frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})\) направлен от вершины \(C\) к середине отрезка \(AB\), так как он представляет собой среднее арифметическое векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\).
   4. Этот вектор является радиусом описанной окружности треугольника \(ABC\), и он перпендикулярен отрезку \(AB\), так как в равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести.

Ответ: NaN

Решение №40618: Для решения задачи найдем координаты и длину вектора \(k\vec{a}\) для каждого из случаев. ### а) \(\vec{A}(6; -8), \(k = 0,5\)

1. Запишем координаты вектора \(\vec{A}\): \(\vec{A}(6; -8)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{A}\): \[ k\vec{A} = k(6; -8) = 0,5(6; -8) = (0,5 \cdot 6; 0,5 \cdot -8) = (3; -4) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{A}\): \[ |k\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Запишем координаты вектора \(\vec{a}\): \(\vec{a}(5; 12)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{a}\): \[ k\vec{a} = k(5; 12) = 3(5; 12) = (3 \cdot 5; 3 \cdot 12) = (15; 36) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39 \]

1. Запишем координаты вектора \(\vec{a}\): \(\vec{a}(-1; -2)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{a}\): \[ k\vec{a} = k(-1; -2) = -1(-1; -2) = (1; 2) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Ответ: NaN

Решение №40619: Для решения задачи Длина вектора \(k\vec{a}\) равна 10. Найдите \(k\), если: а) \(\vec{a}(3; -4)\); б) \(\vec{a}(18; 24)\) выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(3; -4)\)

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) в координатной форме: \[ \vec{a} = (3, -4) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Запишем уравнение для длины вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = 10 \]
4. Подставим длину вектора \(\vec{a}\) в уравнение: \[ |k| \cdot 5 = 10 \]
5. Решим уравнение относительно \(k\): \[ |k| = \frac{10}{5} = 2 \]
6. Учтем, что \(k\) может быть как положительным, так и отрицательным: \[ k = \pm 2 \]

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) в координатной форме: \[ \vec{a} = (18, 24) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \]
3. Запишем уравнение для длины вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = 10 \]
4. Подставим длину вектора \(\vec{a}\) в уравнение: \[ |k| \cdot 30 = 10 \]
5. Решим уравнение относительно \(k\): \[ |k| = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]
6. Учтем, что \(k\) может быть как положительным, так и отрицательным: \[ k = \pm \frac{1}{3} \]

Ответ: а) -2 или 2; б) \(-\fraq{1}{2}\) или \(\fraq{1}{3}\).

Решение №40620: Для решения задачи найдем координаты вектора \(\vec{b}\) в двух случаях: а) и б). ### а) \(\vec{b} = k\vec{a}\), \(k = -2\), \(\vec{а}(-0,5; 3)\)

1. Запишем вектор \(\vec{a}\): \[ \vec{a} = (-0,5; 3) \]
2. Запишем уравнение для вектора \(\vec{b}\): \[ \vec{b} = k\vec{a} \]
3. Подставим значения \(k\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{b} = -2 \cdot (-0,5; 3) \]
4. Произведем умножение каждой координаты вектора \(\vec{a}\) на \(k\): \[ \vec{b} = (-2 \cdot -0,5; -2 \cdot 3) \]
5. Выполним умножение: \[ \vec{b} = (1; -6) \]

1. Запишем вектор \(\vec{a}\): \[ \vec{a} = (-6; -9) \]
2. Запишем уравнение для вектора \(\vec{b}\): \[ \vec{b} = k\vec{a} \]
3. Подставим значения \(k\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{b} = \frac{1}{3} \cdot (-6; -9) \]
4. Произведем умножение каждой координаты вектора \(\vec{a}\) на \(k\): \[ \vec{b} = \left(\frac{1}{3} \cdot -6; \frac{1}{3} \cdot -9\right) \]
5. Выполним умножение: \[ \vec{b} = (-2; -3) \]

Ответ: а) \(\vec{b}(1; -6)\); б) \(\vec{b}(-18; -27)\).

Решение №40623: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BM}\), зная, что точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\) и \(\vec{AM} = (2, -3)\).

1. Запишем координаты вектора \(\vec{AM}\): \[ \vec{AM} = (2, -3) \]
2. Поскольку точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\), вектор \(\vec{MB}\) равен вектору \(\vec{MA}\). Следовательно, \(\vec{MB} = -\vec{AM}\): \[ \vec{MB} = -(2, -3) = (-2, 3) \]
3. Вектор \(\vec{AB}\) равен сумме векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{MB}\): \[ \vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB} = (2, -3) + (-2, 3) \]
4. Сложим координаты векторов: \[ \vec{AB} = (2 + (-2), -3 + 3) = (0, 0) \]
5. Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны \((0, 0)\).

Ответ: \(\vec{АВ}(4; -6)\), \(\vec{ВМ}(-2; 3)\).

Решение №40625: Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{a}(14; -8)\) и \(\vec{b}(-7; x)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (14, -8) \] \[ \vec{b} = (-7, x) \]
2. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Это означает, что существует скаляр \(k\) такой, что: \[ \vec{a} = k \cdot \vec{b} \] Запишем это условие в виде системы уравнений: \[ 14 = k \cdot (-7) \] \[ -8 = k \cdot x \]
3. Решим первое уравнение для \(k\): \[ 14 = -7k \] \[ k = -2 \]
4. Подставим \(k\) во второе уравнение: \[ -8 = -2x \] \[ x = 4 \]
5. Теперь проверим, сонаправлены ли векторы. Векторы сонаправлены, если \(k > 0\), и противоположно направлены, если \(k < 0\). \[ k = -2 \] Поскольку \(k < 0\), векторы противоположно направлены.

Ответ: 4; нет.

Решение №40626: ### а) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a}(7; -4)\), \(\vec{b}(2; 3)\).

1. Запишем координаты векторов: \[ \vec{a} = (7, -4), \quad \vec{b} = (2, 3) \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
3. Подставим координаты векторов в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 7 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 \]
4. Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 14 - 12 \]
5. Выполним вычитание: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 2 \]

1. Запишем данные: \[ |\vec{a}| = 4, \quad |\vec{b}| = 5\sqrt{3}, \quad \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов через их модули и угол между ними: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \]
3. Подставим данные в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ \]
4. Найдем значение \(\cos 30^\circ\): \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Подставим значение \(\cos 30^\circ\) в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
6. Упростим выражение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} \]
7. Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot 1.5 = 30 \]

Ответ: а) 2; б) 30.

Решение №40627: Для решения задачи о скалярном произведении векторов в квадрате \(ABCD\) с длиной стороны 1, выполним следующие шаги: ### а) Скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АD}\)

1. Установим систему координат таким образом, чтобы точка \(A\) была в начале координат \((0, 0)\).
2. Определим координаты точек: \begin{itemize}
3. \(B (1, 0)\)
4. \(C (1, 1)\)
5. \(D (0, 1)\)
6. Найдем координаты векторов: \begin{itemize}
7. \(\vec{АВ} = (1, 0)\)
8. \(\vec{АD} = (0, 1)\)
9. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АD}\): \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АD} = (1, 0) \cdot (0, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \]

1. Установим систему координат таким образом, чтобы точка \(A\) была в начале координат \((0, 0)\).
2. Определим координаты точек: \begin{itemize}
3. \(B (1, 0)\)
4. \(C (1, 1)\)
5. \(D (0, 1)\)
6. Найдем координаты векторов: \begin{itemize}
7. \(\vec{АC} = (1, 1)\)
8. \(\vec{АD} = (0, 1)\)
9. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{АC}\) и \(\vec{АD}\): \[ \vec{АC} \cdot \vec{АD} = (1, 1) \cdot (0, 1) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]

Ответ: а) 0; б) 1.

Решение №40628: Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(\vec{b}(6; -2)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (6, -2) \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
3. Подставим координаты векторов в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + (-8) = -8 \]

1. Запишем условие задачи: \[ |\vec{a}| = 2, \quad |\vec{b}| = 2, \quad \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \]
3. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) \]
4. Вычислим косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
5. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]

1. Запишем условие задачи: \[ \text{Треугольник } ABC \text{ равносторонний со стороной } 6 \]
2. Определим длины векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ |\vec{АВ}| = 6, \quad |\vec{АС}| = 6 \]
3. Определим угол между векторами \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ \angle (\vec{АВ}, \vec{АС}) = 60^\circ \]
4. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = |\vec{АВ}| \cdot |\vec{АС}| \cdot \cos(\theta) \]
5. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \]
6. Вычислим косинус угла \(60^\circ\): \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]
7. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18 \]

Ответ: а) -8; б) -2; в) 18.

Решение №40629: Для нахождения угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула косинуса угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно. ### а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\)

1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8) = -8 + 8 = 0 \]
2. Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]
4. Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{0}{20} = 0 \]
5. Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos(0) = 90^\circ \]

1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \]
2. Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
4. Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
5. Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]

Ответ: а) \(90^\circ\); б) \(45^\circ\).

Решение №40631: Для решения задачи о нахождении значения \(x\), при котором векторы \(\vec{a}(x; 4)\) и \(\vec{b}(-2; 3)\) перпендикулярны, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие перпендикулярности векторов: Для перпендикулярных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
2. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{a}(x; 4)\) и \(\vec{b}(-2; 3)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-2) + 4 \cdot 3 \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -2x + 12 \]
4. Приравняем скалярное произведение к нулю: \[ -2x + 12 = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\): \[ -2x + 12 = 0 \] \[ -2x = -12 \] \[ x = 6 \]

Ответ: 6.

Решение №40632: Для решения задачи найдем координаты и длину вектора \(\vec{c}\) в двух случаях: а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\) и б) \(\vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b}\). ### а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\)

1. Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 2(3; -1) + 0.5(-4; 10) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{c} = (6; -2) + (-2; 5) \]
5. Сложим координаты: \[ \vec{c} = (6 - 2; -2 + 5) = (4; 3) \]
6. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 3(3; -1) - (-4; 10) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{c} = (9; -3) - (-4; 10) \]
5. Выполним вычитание: \[ \vec{c} = (9 + 4; -3 - 10) = (13; -13) \]
6. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{13^2 + (-13)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2} \]

Ответ: а) \(\vec{с}(4;3)\), \(|\vec{c}| = 5\); б) \(\vec{с}(13; -13)\), \(|\vec{c}| = 13\sqrt{2}\).

Решение №40633: Для решения задачи найдем \(k\) таким образом, чтобы вектор \(\vec{c}\) был равен \(\vec{c}(-4; 11)\).

1. Запишем векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\): \[ \vec{a} = (0, -3) \] \[ \vec{b} = (-2, 1) \] \[ \vec{c} = (-4, 11) \]
2. Выразим \(\vec{c}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = k\vec{a} + 2\vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в выражение для \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = k(0, -3) + 2(-2, 1) \] \[ \vec{c} = (0 \cdot k, -3 \cdot k) + (2 \cdot -2, 2 \cdot 1) \] \[ \vec{c} = (0, -3k) + (-4, 2) \] \[ \vec{c} = (0 - 4, -3k + 2) \] \[ \vec{c} = (-4, -3k + 2) \]
4. Приравняем координаты вектора \(\vec{c}\) к заданным значениям: \[ (-4, -3k + 2) = (-4, 11) \]
5. Решим систему уравнений: \[ -4 = -4 \] \[ -3k + 2 = 11 \]
6. Решим уравнение для \(k\): \[ -3k + 2 = 11 \] \[ -3k = 11 - 2 \] \[ -3k = 9 \] \[ k = \frac{9}{-3} \] \[ k = -3 \]

Ответ: -3.

Решение №40639: Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (4 - 2, 6 - 3) = (2, 3) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{CD}\): \[ \vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (11 - 7, x - 8) = (4, x - 8) \]
3. Для того чтобы векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{x - 8} \]
4. Упростим дробь слева: \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{x - 8} \]
5. Перекрестное умножение для решения уравнения: \[ 1 \cdot (x - 8) = 2 \cdot 3 \] \[ x - 8 = 6 \]
6. Решим уравнение: \[ x = 6 + 8 = 14 \]

1. Теперь проверим, сонаправлены ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{AB} = (2, 3) \] \[ \vec{CD} = (4, 14 - 8) = (4, 6) \]
2. Проверим пропорциональность координат векторов: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
3. Поскольку обе координаты векторов пропорциональны с одинаковым знаком, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) сонаправлены.

Ответ: 14; да.