Решение №40610: Для решения задачи Во сколько раз длина вектора \(-3\vec{a}\) больше длины вектора \(\vec{a}\)? Верно ли, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(k\) раз больше, чем длина вектора \(\vec{a}\)? выполним следующие шаги:

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) и его длину \(|\vec{a}|\).
2. Запишем вектор \(-3\vec{a}\) и его длину \(|-3\vec{a}|\).
3. Используем свойство векторов: \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).
4. Применим это свойство к вектору \(-3\vec{a}\): \[ |-3\vec{a}| = |-3| \cdot |\vec{a}| = 3 \cdot |\vec{a}| \]
5. Сравним длины векторов: \[ |-3\vec{a}| = 3 \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(-3\vec{a}\) в 3 раза больше длины вектора \(\vec{a}\).

1. Запишем вектор \(k\vec{a}\) и его длину \(|k\vec{a}|\).
2. Используем свойство векторов: \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).
3. Если \(k\) положительное число, то: \[ |k\vec{a}| = k \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(k\) раз больше длины вектора \(\vec{a}\).
4. Если \(k\) отрицательное число, то: \[ |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \] Это означает, что длина вектора \(k\vec{a}\) в \(|k|\) раз больше длины вектора \(\vec{a}\).

Ответ: NaN

Решение №40611: Для решения задачи определения знака числа \(k\) в зависимости от направления векторов, выполним следующие шаги: ### а) Векторы \(\vec{a}\) и \(k\vec{a}\) сонаправлены

1. Векторы \(\vec{a}\) и \(k\vec{a}\) сонаправлены, если \(k > 0\).
2. Действительно, если \(k > 0\), то \(k\vec{a}\) будет иметь то же направление, что и \(\vec{a}\).

1. Векторы \(-2\vec{a}\) и \(k\vec{a}\) сонаправлены, если \(k < 0\).
2. Действительно, если \(k < 0\), то \(k\vec{a}\) будет иметь противоположное направление \(\vec{a}\), что совпадает с направлением \(-2\vec{a}\).

1. Векторы \(k\vec{a}\) и \(k^2\vec{a}\) противоположно направлены, если \(k < 0\).
2. Действительно, если \(k < 0\), то \(k^2 > 0\), и \(k^2\vec{a}\) будет иметь то же направление, что и \(\vec{a}\).
3. Таким образом, \(k\vec{a}\) будет иметь противоположное направление \(k^2\vec{a}\).

Ответ: NaN

Решение №40612: Для решения задачи о нахождении углов между векторами в квадрате \(ABCD\), где диагонали пересекаются в точке \(O\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим квадрат \(ABCD\) с диагоналями, пересекающимися в точке \(O\).
2. Определим угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\):
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{AD}\) проходит по стороне квадрата.
   • Угол между диагональю и стороной квадрата равен \(45^\circ\).
   Ответ: \(45^\circ\).
3. Определим угол между векторами \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\):
   • Вектор \(\vec{OB}\) проходит по половине диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{OC}\) также проходит по половине диагонали квадрата.
   • Угол между половинами диагоналей квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).
4. Определим угол между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\):
   • Вектор \(\vec{BC}\) проходит по стороне квадрата.
   • Вектор \(\vec{CD}\) также проходит по стороне квадрата.
   • Угол между сторонами квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).
5. Определим угол между векторами \(\vec{AC}\) и \(\vec{DA}\):
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{DA}\) проходит по стороне квадрата в обратном направлении.
   • Угол между диагональю и стороной квадрата равен \(45^\circ\).
   Ответ: \(45^\circ\).
6. Определим угол между векторами \(\vec{AO}\) и \(\vec{AC}\):
   • Вектор \(\vec{AO}\) проходит по половине диагонали квадрата.
   • Вектор \(\vec{AC}\) проходит по диагонали квадрата.
   • Угол между половиной диагонали и диагональю квадрата равен \(0^\circ\).
   Ответ: \(0^\circ\).
7. Определим угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\):
   • Вектор \(\vec{AB}\) проходит по стороне квадрата.
   • Вектор \(\vec{CD}\) проходит по стороне квадрата.
   • Угол между сторонами квадрата равен \(90^\circ\).
   Ответ: \(90^\circ\).

1. Угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\): \(45^\circ\).
2. Угол между \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\): \(90^\circ\).
3. Угол между \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\): \(90^\circ\).
4. Угол между \(\vec{AC}\) и \(\vec{DA}\): \(45^\circ\).
5. Угол между \(\vec{AO}\) и \(\vec{AC}\): \(0^\circ\).
6. Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \(90^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №40613: Для решения задачи Может ли скалярное произведение двух векторов быть равным нулевому вектору? Может ли скалярный квадрат ненулевого вектора быть равным нулю? выполним следующие шаги:

1. Определение скалярного произведения: Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) определяется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \] где \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) — длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), а \(\theta\) — угол между ними.
2. Определение скалярного квадрата вектора: Скалярный квадрат вектора \(\mathbf{a}\) определяется как: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \]
3. Может ли скалярное произведение быть равным нулю? Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равно нулю, если: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \] Это возможно в двух случаях:
   • Если хотя бы один из векторов является нулевым вектором.
   • Если векторы перпендикулярны, то есть \(\theta = 90^\circ\), и \(\cos 90^\circ = 0\).
   Таким образом, скалярное произведение двух векторов может быть равным нулю.
4. Может ли скалярный квадрат ненулевого вектора быть равным нулю? Скалярный квадрат вектора \(\mathbf{a}\) равен нулю, если: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 0 \] Это означает, что: \[ |\mathbf{a}|^2 = 0 \] Следовательно, \(|\mathbf{a}| = 0\), что означает, что вектор \(\mathbf{a}\) является нулевым вектором. Таким образом, скалярный квадрат ненулевого вектора не может быть равным нулю.

Ответ: NaN

Решение №40614: Для определения типа угла между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) воспользуемся скалярным произведением векторов. Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — их длины. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Случай а): \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) отрицательно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) < 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) < 0 \implies \cos(\theta) < 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) < 0\), то угол \(\theta\) тупой (больше 90°, но меньше 180°).
2. Случай б): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) = 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) = 0 \implies \cos(\theta) = 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) = 0\), то угол \(\theta\) прямой (ровно 90°).
3. Случай в): \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)
   1. Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) положительно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \]
   2. Это означает, что \(\cos(\theta) > 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) > 0 \implies \cos(\theta) > 0 \]
   3. Если \(\cos(\theta) > 0\), то угол \(\theta\) острый (меньше 90°).

• тупой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\);
• прямой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\);
• острый, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\).

Ответ: NaN

Решение №40615:

1. Рассмотрим скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Скалярное произведение определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \] где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(\theta\) — угол между ними.
2. Скалярное произведение будет равно произведению их длин, если: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \]
3. Сравним обе части уравнения: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \]
4. Разделим обе части уравнения на \(|\vec{a}| |\vec{b}|\) (предполагая, что \(|\vec{a}| \neq 0\) и \(|\vec{b}| \neq 0\)): \[ \cos \theta = 1 \]
5. Угол \(\theta\), для которого \(\cos \theta = 1\), равен \(0\) радиан (или \(0\) градусов). Это означает, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) направлены в одну сторону (коллинеарны и сонаправлены).
6. Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно произведению их длин тогда и только тогда, когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны и сонаправлены.

Ответ: NaN

Решение №40616: Для решения задачи о построении векторов, выполним следующие шаги:

1. Начертите векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) в тетради согласно рисунку 111.
2. а) Постройте векторы \(-2\vec{a}\), \(3\vec{c}\), \(0,25\vec{d}\):
   • \(-2\vec{a}\): Удлините вектор \(\vec{a}\) вдвое и измените его направление на противоположное.
   • \(3\vec{c}\): Удлините вектор \(\vec{c}\) в три раза.
   • \(0,25\vec{d}\): Укоротите вектор \(\vec{d}\) в четыре раза.
3. б) Постройте векторы \(0,5\vec{a} + \vec{b}\), \(2\vec{c} + \vec{d}\), \(2\vec{d} + 3\vec{b}\):
   • \(0,5\vec{a} + \vec{b}\): Укоротите вектор \(\vec{a}\) в два раза и сложите с вектором \(\vec{b}\).
   • \(2\vec{c} + \vec{d}\): Удлините вектор \(\vec{c}\) в два раза и сложите с вектором \(\vec{d}\).
   • \(2\vec{d} + 3\vec{b}\): Удлините вектор \(\vec{d}\) в два раза и сложите с вектором \(\vec{b}\), удлинённым в три раза.
4. в) Постройте векторы \(2\vec{c} - \vec{a}\), \(2\vec{a} - 0,5\vec{d}\), \(\frac{1}{3}\vec{b} - \vec{d}\):
   • \(2\vec{c} - \vec{a}\): Удлините вектор \(\vec{c}\) в два раза и вычтите вектор \(\vec{a}\).
   • \(2\vec{a} - 0,5\vec{d}\): Удлините вектор \(\vec{a}\) в два раза и вычтите вектор \(\vec{d}\), укороченный в два раза.
   • \(\frac{1}{3}\vec{b} - \vec{d}\): Укоротите вектор \(\vec{b}\) в три раза и вычтите вектор \(\vec{d}\).

Ответ: NaN

Решение №40617: Для решения задачи, связанной с равносторонним треугольником \(ABC\), выполним следующие шаги:

1. Начертите равносторонний треугольник \(ABC\).
2. Постройте угол между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{AB}\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{CA}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(A\).
   2. Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\). Он направлен от вершины \(A\) к вершине \(B\).
   3. Угол между векторами \(\vec{CA}\) и \(\vec{AB}\) равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), так как в равностороннем треугольнике каждый угол равен \(60^\circ\).
3. Постройте вектор \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{AV}\). Он направлен от вершины \(A\) к вершине \(V\), где \(V\) — точка, лежащая на прямой, проходящей через \(A\) и \(C\).
   2. Рассмотрим вектор \(\frac{1}{2}\vec{AC}\). Он направлен от вершины \(A\) к середине отрезка \(AC\).
   3. Вектор \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) направлен от вершины \(A\) к точке, которая является серединой отрезка \(AC\).
   4. Угол между вектором \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) и вектором \(\vec{BC}\) равен \(90^\circ\), так как \(\vec{AV} - \frac{1}{2}\vec{AC}\) перпендикулярен \(\vec{BC}\) в равностороннем треугольнике.
4. Постройте вектор \(\vec{CO} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})\):
   1. Рассмотрим вектор \(\vec{CA}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(A\).
   2. Рассмотрим вектор \(\vec{CB}\). Он направлен от вершины \(C\) к вершине \(B\).
   3. Вектор \(\frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB})\) направлен от вершины \(C\) к середине отрезка \(AB\), так как он представляет собой среднее арифметическое векторов \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\).
   4. Этот вектор является радиусом описанной окружности треугольника \(ABC\), и он перпендикулярен отрезку \(AB\), так как в равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести.

Ответ: NaN

Решение №40618: Для решения задачи найдем координаты и длину вектора \(k\vec{a}\) для каждого из случаев. ### а) \(\vec{A}(6; -8), \(k = 0,5\)

1. Запишем координаты вектора \(\vec{A}\): \(\vec{A}(6; -8)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{A}\): \[ k\vec{A} = k(6; -8) = 0,5(6; -8) = (0,5 \cdot 6; 0,5 \cdot -8) = (3; -4) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{A}\): \[ |k\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Запишем координаты вектора \(\vec{a}\): \(\vec{a}(5; 12)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{a}\): \[ k\vec{a} = k(5; 12) = 3(5; 12) = (3 \cdot 5; 3 \cdot 12) = (15; 36) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = \sqrt{15^2 + 36^2} = \sqrt{225 + 1296} = \sqrt{1521} = 39 \]

1. Запишем координаты вектора \(\vec{a}\): \(\vec{a}(-1; -2)\).
2. Найдем координаты вектора \(k\vec{a}\): \[ k\vec{a} = k(-1; -2) = -1(-1; -2) = (1; 2) \]
3. Найдем длину вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

Ответ: NaN

Решение №40619: Для решения задачи Длина вектора \(k\vec{a}\) равна 10. Найдите \(k\), если: а) \(\vec{a}(3; -4)\); б) \(\vec{a}(18; 24)\) выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(3; -4)\)

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) в координатной форме: \[ \vec{a} = (3, -4) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Запишем уравнение для длины вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = 10 \]
4. Подставим длину вектора \(\vec{a}\) в уравнение: \[ |k| \cdot 5 = 10 \]
5. Решим уравнение относительно \(k\): \[ |k| = \frac{10}{5} = 2 \]
6. Учтем, что \(k\) может быть как положительным, так и отрицательным: \[ k = \pm 2 \]

1. Запишем вектор \(\vec{a}\) в координатной форме: \[ \vec{a} = (18, 24) \]
2. Найдем длину вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \]
3. Запишем уравнение для длины вектора \(k\vec{a}\): \[ |k\vec{a}| = 10 \]
4. Подставим длину вектора \(\vec{a}\) в уравнение: \[ |k| \cdot 30 = 10 \]
5. Решим уравнение относительно \(k\): \[ |k| = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]
6. Учтем, что \(k\) может быть как положительным, так и отрицательным: \[ k = \pm \frac{1}{3} \]

Ответ: а) -2 или 2; б) \(-\fraq{1}{2}\) или \(\fraq{1}{3}\).

Решение №40620: Для решения задачи найдем координаты вектора \(\vec{b}\) в двух случаях: а) и б). ### а) \(\vec{b} = k\vec{a}\), \(k = -2\), \(\vec{а}(-0,5; 3)\)

1. Запишем вектор \(\vec{a}\): \[ \vec{a} = (-0,5; 3) \]
2. Запишем уравнение для вектора \(\vec{b}\): \[ \vec{b} = k\vec{a} \]
3. Подставим значения \(k\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{b} = -2 \cdot (-0,5; 3) \]
4. Произведем умножение каждой координаты вектора \(\vec{a}\) на \(k\): \[ \vec{b} = (-2 \cdot -0,5; -2 \cdot 3) \]
5. Выполним умножение: \[ \vec{b} = (1; -6) \]

1. Запишем вектор \(\vec{a}\): \[ \vec{a} = (-6; -9) \]
2. Запишем уравнение для вектора \(\vec{b}\): \[ \vec{b} = k\vec{a} \]
3. Подставим значения \(k\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{b} = \frac{1}{3} \cdot (-6; -9) \]
4. Произведем умножение каждой координаты вектора \(\vec{a}\) на \(k\): \[ \vec{b} = \left(\frac{1}{3} \cdot -6; \frac{1}{3} \cdot -9\right) \]
5. Выполним умножение: \[ \vec{b} = (-2; -3) \]

Ответ: а) \(\vec{b}(1; -6)\); б) \(\vec{b}(-18; -27)\).

Решение №40621: Для доказательства равенства \((-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\) для любого вектора \(\vec{a}\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим произвольный вектор \(\vec{a}\).
2. По определению умножения вектора на скаляр, если \(\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\), то \((-1) \cdot \vec{a}\) определяется как: \[ (-1) \cdot \vec{a} = (-1) \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \end{pmatrix} \]
3. С другой стороны, определение противоположного вектора \(-\vec{a}\) таково, что: \[ -\vec{a} = -\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \end{pmatrix} \]
4. Таким образом, мы видим, что: \[ (-1) \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} -a_1 \\ -a_2 \end{pmatrix} = -\vec{a} \]
5. Следовательно, для любого вектора \(\vec{a}\) выполняется равенство: \[ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a} \]

Ответ: NaN

Решение №40622: Для решения задачи, в которой \(АВ = ВС = СВ = DЕ\), и необходимо выразить векторы \(\vec{АЕ}\), \(\vec{BЕ}\), \(\vec{ЕD}\), \(\vec{CA}\) через вектор \(\vec{a} = \vec{АВ}\), выполним следующие шаги:

1. Определим вектор \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = \vec{a} \]
2. Определим вектор \(\vec{ВС}\): \[ \vec{ВС} = \vec{a} \]
3. Определим вектор \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = -\vec{a} \]
4. Определим вектор \(\vec{DЕ}\): \[ \vec{DЕ} = \vec{a} \]
5. Выразим вектор \(\vec{АЕ}\): \[ \vec{АЕ} = \vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СВ} + \vec{DЕ} = \vec{a} + \vec{a} - \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a} \]
6. Выразим вектор \(\vec{BЕ}\): \[ \vec{BЕ} = \vec{ВС} + \vec{СВ} + \vec{DЕ} = \vec{a} - \vec{a} + \vec{a} = \vec{a} \]
7. Выразим вектор \(\vec{ЕD}\): \[ \vec{ЕD} = -\vec{DЕ} = -\vec{a} \]
8. Выразим вектор \(\vec{CA}\): \[ \vec{CA} = -\vec{АВ} = -\vec{a} \]

Ответ: NaN

Решение №40623: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BM}\), зная, что точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\) и \(\vec{AM} = (2, -3)\).

1. Запишем координаты вектора \(\vec{AM}\): \[ \vec{AM} = (2, -3) \]
2. Поскольку точка \(M\) является серединой отрезка \(AB\), вектор \(\vec{MB}\) равен вектору \(\vec{MA}\). Следовательно, \(\vec{MB} = -\vec{AM}\): \[ \vec{MB} = -(2, -3) = (-2, 3) \]
3. Вектор \(\vec{AB}\) равен сумме векторов \(\vec{AM}\) и \(\vec{MB}\): \[ \vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB} = (2, -3) + (-2, 3) \]
4. Сложим координаты векторов: \[ \vec{AB} = (2 + (-2), -3 + 3) = (0, 0) \]
5. Таким образом, координаты вектора \(\vec{AB}\) равны \((0, 0)\).

Ответ: \(\vec{АВ}(4; -6)\), \(\vec{ВМ}(-2; 3)\).

Решение №40624: Для решения задачи о нахождении коллинеарных векторов и определения их направленности, выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты векторов: \[ \vec{a}(-2; 3), \quad \vec{b}(8; 18), \quad \vec{c}(-4; -9), \quad \vec{d}(-4; 6) \]
2. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{-2}{8} = \frac{3}{18} \] Упростим дроби: \[ \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}, \quad \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \] Поскольку \(\frac{-1}{4} \neq \frac{1}{6}\), векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.
3. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{-2}{-4} = \frac{3}{-9} \] Упростим дроби: \[ \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \] Поскольку \(\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{3}\), векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) не коллинеарны.
4. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{-2}{-4} = \frac{3}{6} \] Упростим дроби: \[ \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Поскольку \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) коллинеарны.
5. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{8}{-4} = \frac{18}{-9} \] Упростим дроби: \[ \frac{8}{-4} = -2, \quad \frac{18}{-9} = -2 \] Поскольку \(-2 = -2\), векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.
6. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{8}{-4} = \frac{18}{6} \] Упростим дроби: \[ \frac{8}{-4} = -2, \quad \frac{18}{6} = 3 \] Поскольку \(-2 \neq 3\), векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\) не коллинеарны.
7. Для проверки коллинеарности векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{-4}{-4} = \frac{-9}{6} \] Упростим дроби: \[ \frac{-4}{-4} = 1, \quad \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} \] Поскольку \(1 \neq -\frac{3}{2}\), векторы \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) не коллинеарны.
8. Определим направленность коллинеарных векторов:
   • Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{d}\) коллинеарны с коэффициентом пропорциональности \(\frac{1}{2}\). Поскольку коэффициент положительный, векторы сонаправлены.
   • Векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны с коэффициентом пропорциональности \(-2\). Поскольку коэффициент отрицательный, векторы противоположно направлены.

Ответ: NaN

Решение №40625: Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{a}(14; -8)\) и \(\vec{b}(-7; x)\) выполним следующие шаги:

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (14, -8) \] \[ \vec{b} = (-7, x) \]
2. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Это означает, что существует скаляр \(k\) такой, что: \[ \vec{a} = k \cdot \vec{b} \] Запишем это условие в виде системы уравнений: \[ 14 = k \cdot (-7) \] \[ -8 = k \cdot x \]
3. Решим первое уравнение для \(k\): \[ 14 = -7k \] \[ k = -2 \]
4. Подставим \(k\) во второе уравнение: \[ -8 = -2x \] \[ x = 4 \]
5. Теперь проверим, сонаправлены ли векторы. Векторы сонаправлены, если \(k > 0\), и противоположно направлены, если \(k < 0\). \[ k = -2 \] Поскольку \(k < 0\), векторы противоположно направлены.

Ответ: 4; нет.

Решение №40626: ### а) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a}(7; -4)\), \(\vec{b}(2; 3)\).

1. Запишем координаты векторов: \[ \vec{a} = (7, -4), \quad \vec{b} = (2, 3) \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
3. Подставим координаты векторов в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 7 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 \]
4. Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 14 - 12 \]
5. Выполним вычитание: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 2 \]

1. Запишем данные: \[ |\vec{a}| = 4, \quad |\vec{b}| = 5\sqrt{3}, \quad \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов через их модули и угол между ними: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \]
3. Подставим данные в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ \]
4. Найдем значение \(\cos 30^\circ\): \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
5. Подставим значение \(\cos 30^\circ\) в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
6. Упростим выражение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} \]
7. Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot 1.5 = 30 \]

Ответ: а) 2; б) 30.

Решение №40627: Для решения задачи о скалярном произведении векторов в квадрате \(ABCD\) с длиной стороны 1, выполним следующие шаги: ### а) Скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АD}\)

1. Установим систему координат таким образом, чтобы точка \(A\) была в начале координат \((0, 0)\).
2. Определим координаты точек: \begin{itemize}
3. \(B (1, 0)\)
4. \(C (1, 1)\)
5. \(D (0, 1)\)
6. Найдем координаты векторов: \begin{itemize}
7. \(\vec{АВ} = (1, 0)\)
8. \(\vec{АD} = (0, 1)\)
9. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АD}\): \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АD} = (1, 0) \cdot (0, 1) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \]

1. Установим систему координат таким образом, чтобы точка \(A\) была в начале координат \((0, 0)\).
2. Определим координаты точек: \begin{itemize}
3. \(B (1, 0)\)
4. \(C (1, 1)\)
5. \(D (0, 1)\)
6. Найдем координаты векторов: \begin{itemize}
7. \(\vec{АC} = (1, 1)\)
8. \(\vec{АD} = (0, 1)\)
9. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{АC}\) и \(\vec{АD}\): \[ \vec{АC} \cdot \vec{АD} = (1, 1) \cdot (0, 1) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \]

Ответ: а) 0; б) 1.

Решение №40628: Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(\vec{b}(6; -2)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (6, -2) \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]
3. Подставим координаты векторов в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + (-8) = -8 \]

1. Запишем условие задачи: \[ |\vec{a}| = 2, \quad |\vec{b}| = 2, \quad \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ \]
2. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \]
3. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) \]
4. Вычислим косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
5. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \]

1. Запишем условие задачи: \[ \text{Треугольник } ABC \text{ равносторонний со стороной } 6 \]
2. Определим длины векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ |\vec{АВ}| = 6, \quad |\vec{АС}| = 6 \]
3. Определим угол между векторами \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ \angle (\vec{АВ}, \vec{АС}) = 60^\circ \]
4. Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = |\vec{АВ}| \cdot |\vec{АС}| \cdot \cos(\theta) \]
5. Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \]
6. Вычислим косинус угла \(60^\circ\): \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \]
7. Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18 \]

Ответ: а) -8; б) -2; в) 18.

Решение №40629: Для нахождения угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула косинуса угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно. ### а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\)

1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8) = -8 + 8 = 0 \]
2. Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]
4. Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{0}{20} = 0 \]
5. Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos(0) = 90^\circ \]

1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \]
2. Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
4. Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
5. Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]

Ответ: а) \(90^\circ\); б) \(45^\circ\).

Решение №40630: Для доказательства того, что ненулевые векторы \(\vec{a}(x; y)\) и \(\vec{b}(y; -x)\) перпендикулярны, выполним следующие шаги:

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (x, y) \] \[ \vec{b} = (y, -x) \]
2. Вспомним условие перпендикулярности векторов: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot y + y \cdot (-x) \]
3. Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = xy + y(-x) \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = xy - xy \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
5. Так как скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно нулю, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны.

Ответ: NaN

Решение №40631: Для решения задачи о нахождении значения \(x\), при котором векторы \(\vec{a}(x; 4)\) и \(\vec{b}(-2; 3)\) перпендикулярны, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие перпендикулярности векторов: Для перпендикулярных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) их скалярное произведение равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
2. Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{a}(x; 4)\) и \(\vec{b}(-2; 3)\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-2) + 4 \cdot 3 \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -2x + 12 \]
4. Приравняем скалярное произведение к нулю: \[ -2x + 12 = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\): \[ -2x + 12 = 0 \] \[ -2x = -12 \] \[ x = 6 \]

Ответ: 6.

Решение №40632: Для решения задачи найдем координаты и длину вектора \(\vec{c}\) в двух случаях: а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\) и б) \(\vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b}\). ### а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\)

1. Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 2(3; -1) + 0.5(-4; 10) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{c} = (6; -2) + (-2; 5) \]
5. Сложим координаты: \[ \vec{c} = (6 - 2; -2 + 5) = (4; 3) \]
6. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 3(3; -1) - (-4; 10) \]
4. Выполним умножение: \[ \vec{c} = (9; -3) - (-4; 10) \]
5. Выполним вычитание: \[ \vec{c} = (9 + 4; -3 - 10) = (13; -13) \]
6. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{13^2 + (-13)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2} \]

Ответ: а) \(\vec{с}(4;3)\), \(|\vec{c}| = 5\); б) \(\vec{с}(13; -13)\), \(|\vec{c}| = 13\sqrt{2}\).

Решение №40633: Для решения задачи найдем \(k\) таким образом, чтобы вектор \(\vec{c}\) был равен \(\vec{c}(-4; 11)\).

1. Запишем векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\): \[ \vec{a} = (0, -3) \] \[ \vec{b} = (-2, 1) \] \[ \vec{c} = (-4, 11) \]
2. Выразим \(\vec{c}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = k\vec{a} + 2\vec{b} \]
3. Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в выражение для \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = k(0, -3) + 2(-2, 1) \] \[ \vec{c} = (0 \cdot k, -3 \cdot k) + (2 \cdot -2, 2 \cdot 1) \] \[ \vec{c} = (0, -3k) + (-4, 2) \] \[ \vec{c} = (0 - 4, -3k + 2) \] \[ \vec{c} = (-4, -3k + 2) \]
4. Приравняем координаты вектора \(\vec{c}\) к заданным значениям: \[ (-4, -3k + 2) = (-4, 11) \]
5. Решим систему уравнений: \[ -4 = -4 \] \[ -3k + 2 = 11 \]
6. Решим уравнение для \(k\): \[ -3k + 2 = 11 \] \[ -3k = 11 - 2 \] \[ -3k = 9 \] \[ k = \frac{9}{-3} \] \[ k = -3 \]

Ответ: -3.

Решение №40634: Для доказательства того, что если отрезок \(VM\) — медиана треугольника \(ABC\), то \(\vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})\), выполним следующие шаги:

1. Определим точку \(M\) как середину стороны \(AC\) треугольника \(ABC\).
2. Запишем вектор \(\vec{BM}\) как вектор от точки \(B\) до точки \(M\).
3. Используем определение медианы: медиана делит противоположную сторону на две равные части. Таким образом, точка \(M\) делит отрезок \(AC\) на две равные части.
4. Выразим вектор \(\vec{BM}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) \]
5. Представим векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{C}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{A} = \vec{B} + \vec{BA}, \quad \vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} \]
6. Подставим эти выражения в формулу для \(\vec{BM}\): \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{BA} + \vec{B} + \vec{BC}) \]
7. Упростим выражение: \[ \vec{BM} = \vec{B} + \frac{1}{2}(2\vec{B} + \vec{BA} + \vec{BC}) \]
8. Вынесем \(\vec{B}\) за скобки: \[ \vec{BM} = \vec{B} + \vec{B} + \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \]
9. Упростим выражение: \[ \vec{BM} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \]

Ответ: NaN

Решение №40635: Для доказательства утверждения, что если точки \(M\) и \(N\) - середины отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно, то \(\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})\), выполним следующие шаги:

1. Определим векторы \(\vec{MN}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} \] \[ \vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} \] \[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \]
2. Так как \(M\) и \(N\) являются серединами отрезков \(AB\) и \(CD\) соответственно, то: \[ \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \] \[ \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} \]
3. Подставим выражения для \(\vec{M}\) и \(\vec{N}\) в выражение для \(\vec{MN}\): \[ \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{MN} = \frac{\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}}{2} \]
5. Представим \(\vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B}\) через векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{C} + \vec{D} - \vec{A} - \vec{B} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) = \vec{AD} + \vec{BC} \]
6. Подставим это в выражение для \(\vec{MN}\): \[ \vec{MN} = \frac{\vec{AD} + \vec{BC}}{2} \]

Ответ: NaN

Решение №40636: Для решения задачи выражения векторов \(\vec{AV}\) и \(\vec{CV}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AC}\) и \(\vec{b} = \vec{BM}\), где \(BM\) - медиана треугольника \(ABC\), выполним следующие шаги:

1. Запишем исходные векторы: \[ \vec{a} = \vec{AC}, \quad \vec{b} = \vec{BM} \]
2. Выразим вектор \(\vec{AV}\) через векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{CV}\): \[ \vec{AV} = \vec{AC} + \vec{CV} \]
3. Выразим вектор \(\vec{BV}\) через вектор \(\vec{BM}\): \[ \vec{BV} = \vec{BM} + \vec{MV} \]
4. Поскольку \(M\) - середина \(AC\), вектор \(\vec{AM}\) равен: \[ \vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a} \]
5. Выразим вектор \(\vec{AV}\) через \(\vec{AM}\) и \(\vec{MV}\): \[ \vec{AV} = \vec{AM} + \vec{MV} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{MV} \]
6. Поскольку \(M\) - середина \(AC\), вектор \(\vec{MC}\) равен: \[ \vec{MC} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a} \]
7. Выразим вектор \(\vec{CV}\) через \(\vec{MC}\) и \(\vec{MV}\): \[ \vec{CV} = \vec{MC} + \vec{MV} = \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{MV} \]
8. Теперь выразим \(\vec{MV}\) через \(\vec{BM}\): \[ \vec{MV} = \vec{BV} - \vec{BM} \]
9. Подставим \(\vec{MV}\) в выражения для \(\vec{AV}\) и \(\vec{CV}\): \[ \vec{AV} = \frac{1}{2} \vec{a} + (\vec{BV} - \vec{BM}) \] \[ \vec{CV} = \frac{1}{2} \vec{a} + (\vec{BV} - \vec{BM}) \]
10. Поскольку \(\vec{BV} = \vec{BM}\), упростим выражения: \[ \vec{AV} = \frac{1}{2} \vec{a} \] \[ \vec{CV} = \frac{1}{2} \vec{a} \]

Ответ: \(\vec{АВ} = 0,5\vec{а} - \vec{b}\), \(\vec{СВ} = -0,5\vec{a} - \vec{b}\).

Решение №40637: Для решения задачи о выражении векторов \(\vec{АD}\) и \(\vec{DС}\) через векторы \(\vec{а} = \vec{АС}\) и \(\vec{b} = \vec{ВD}\) в ромбе \(АВСD\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для вектора \(\vec{АD}\): \[ \vec{АD} = \vec{АВ} + \vec{ВD} \]
2. Заметим, что в ромбе диагонали пересекаются в точке \(O\), которая является точкой пересечения диагоналей и делит их пополам. Поэтому: \[ \vec{АВ} = \frac{1}{2} \vec{а} \] и \[ \vec{ВD} = \frac{1}{2} \vec{b} \]
3. Подставим эти значения в уравнение для \(\vec{АD}\): \[ \vec{АD} = \frac{1}{2} \vec{а} + \frac{1}{2} \vec{b} \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{АD} = \frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \]
5. Запишем уравнение для вектора \(\vec{DС}\): \[ \vec{DС} = \vec{DВ} + \vec{ВС} \]
6. Заметим, что: \[ \vec{DВ} = -\vec{ВD} = -\frac{1}{2} \vec{b} \] и \[ \vec{ВС} = -\vec{АВ} = -\frac{1}{2} \vec{а} \]
7. Подставим эти значения в уравнение для \(\vec{DС}\): \[ \vec{DС} = -\frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{а} \]
8. Упростим выражение: \[ \vec{DС} = -\frac{1}{2} (\vec{а} + \vec{b}) \]

Ответ: \(\vec{АD} = 0,5(\vec{a} + \vec{b})\), \(\vec{СD} = -0,5(\vec{а} - \vec{b})\).

Решение №40638: Для доказательства того, что точки \(A(-3; 1)\), \(B(3; 4)\), \(C(1; 3)\) лежат на одной прямой, и определения, какая из этих точек лежит между двумя другими, выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-3), 4 - 1) = (6, 3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - (-3), 3 - 1) = (4, 2) \]
2. Проверим, является ли вектор \(\overrightarrow{AC}\) коллинеарным вектору \(\overrightarrow{AB}\). Для этого проверим пропорциональность их координат: \[ \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Поскольку пропорции равны, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) коллинеарны.
3. Так как векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) коллинеарны, точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой.
4. Определим, какая из точек лежит между двумя другими. Для этого сравним абсциссы точек: \[ -3 < 1 < 3 \] Таким образом, точка \(C(1; 3)\) лежит между точками \(A(-3; 1)\) и \(B(3; 4)\).

Ответ: NaN

Решение №40639: Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (4 - 2, 6 - 3) = (2, 3) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{CD}\): \[ \vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (11 - 7, x - 8) = (4, x - 8) \]
3. Для того чтобы векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{x - 8} \]
4. Упростим дробь слева: \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{x - 8} \]
5. Перекрестное умножение для решения уравнения: \[ 1 \cdot (x - 8) = 2 \cdot 3 \] \[ x - 8 = 6 \]
6. Решим уравнение: \[ x = 6 + 8 = 14 \]

1. Теперь проверим, сонаправлены ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{AB} = (2, 3) \] \[ \vec{CD} = (4, 14 - 8) = (4, 6) \]
2. Проверим пропорциональность координат векторов: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
3. Поскольку обе координаты векторов пропорциональны с одинаковым знаком, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) сонаправлены.

Ответ: 14; да.