Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\). Найдите координаты и длину вектора \(\vec{c}\), если: а) \(\vec{c} = 2\vec{а} + 0,5\vec{b}\); б) \(\vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b}\).

Ответ

а) \(\vec{с}(4;3)\), \(|\vec{c}| = 5\); б) \(\vec{с}(13; -13)\), \(|\vec{c}| = 13\sqrt{2}\).

Решение № 40632:

Для решения задачи найдем координаты и длину вектора \(\vec{c}\) в двух случаях: а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\) и б) \(\vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b}\). ### а) \(\vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b}\) <ol> <li>Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).</li> <li>Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 2\vec{a} + 0.5\vec{b} \] </li> <li>Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 2(3; -1) + 0.5(-4; 10) \] </li> <li>Выполним умножение: \[ \vec{c} = (6; -2) + (-2; 5) \] </li> <li>Сложим координаты: \[ \vec{c} = (6 - 2; -2 + 5) = (4; 3) \] </li> <li>Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] </li> </ol> ### б) \(\vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b}\) <ol> <li>Даны векторы \(\vec{a}(3; -1)\) и \(\vec{b}(-4; 10)\).</li> <li>Найдем координаты вектора \(\vec{c}\): \[ \vec{c} = 3\vec{a} - \vec{b} \] </li> <li>Подставим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = 3(3; -1) - (-4; 10) \] </li> <li>Выполним умножение: \[ \vec{c} = (9; -3) - (-4; 10) \] </li> <li>Выполним вычитание: \[ \vec{c} = (9 + 4; -3 - 10) = (13; -13) \] </li> <li>Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{13^2 + (-13)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2} \] </li> </ol> Таким образом, координаты и длины векторов \(\vec{c}\) в двух случаях: а) \(\vec{c} = (4; 3)\), \(|\vec{c}| = 5\) б) \(\vec{c} = (13; -13)\), \(|\vec{c}| = 13\sqrt{2}\)