Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите скалярное произведение векторов: а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(vec{b}(6; -2)\); б) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\); в) \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\), если треугольник \(АВС\) равносторонний со стороной 6.

Ответ

а) -8; б) -2; в) 18.

Решение № 40628:

Для решения задачи о нахождении скалярного произведения векторов, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a}(0; 4)\) и \(\vec{b}(6; -2)\) <ol> <li>Запишем векторы: \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (6, -2) \] </li> <li>Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] </li> <li>Подставим координаты векторов в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 6 + 4 \cdot (-2) \] </li> <li>Выполним умножение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + (-8) = -8 \] </li> </ol> Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-8\). ### б) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\) <ol> <li>Запишем условие задачи: \[ |\vec{a}| = 2, \quad |\vec{b}| = 2, \quad \angle (\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ \] </li> <li>Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \] </li> <li>Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) \] </li> <li>Вычислим косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \] </li> <li>Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] </li> </ol> Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно \(-2\). ### в) \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\), если треугольник \(АВС\) равносторонний со стороной 6 <ol> <li>Запишем условие задачи: \[ \text{Треугольник } ABC \text{ равносторонний со стороной } 6 \] </li> <li>Определим длины векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ |\vec{АВ}| = 6, \quad |\vec{АС}| = 6 \] </li> <li>Определим угол между векторами \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\): \[ \angle (\vec{АВ}, \vec{АС}) = 60^\circ \] </li> <li>Используем формулу скалярного произведения векторов через угол между ними: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = |\vec{АВ}| \cdot |\vec{АС}| \cdot \cos(\theta) \] </li> <li>Подставим значения модулей векторов и угла: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \] </li> <li>Вычислим косинус угла \(60^\circ\): \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] </li> <li>Подставим значение косинуса в формулу: \[ \vec{АВ} \cdot \vec{АС} = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 18 \] </li> </ol> Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{АС}\) равно \(18\).