Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Определите, каким является угол между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) - острым, прямым или тупым, если: а) \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\); б) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\); в) \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\).
Ответ
NaN
Решение № 40614:
Для определения типа угла между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) воспользуемся скалярным произведением векторов. Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \] где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — их длины. Рассмотрим каждый случай отдельно: <ol> <li> <strong>Случай а): \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\)</strong> <ol> <li>Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) отрицательно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} < 0 \] </li> <li>Это означает, что \(\cos(\theta) < 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) < 0 \implies \cos(\theta) < 0 \] </li> <li>Если \(\cos(\theta) < 0\), то угол \(\theta\) тупой (больше 90°, но меньше 180°). </li> </ol> </li> <li> <strong>Случай б): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)</strong> <ol> <li>Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) равно нулю: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \] </li> <li>Это означает, что \(\cos(\theta) = 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) = 0 \implies \cos(\theta) = 0 \] </li> <li>Если \(\cos(\theta) = 0\), то угол \(\theta\) прямой (ровно 90°). </li> </ol> </li> <li> <strong>Случай в): \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)</strong> <ol> <li>Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) положительно: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} > 0 \] </li> <li>Это означает, что \(\cos(\theta) > 0\), так как \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) всегда положительны: \[ |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) > 0 \implies \cos(\theta) > 0 \] </li> <li>Если \(\cos(\theta) > 0\), то угол \(\theta\) острый (меньше 90°). </li> </ol> </li> </ol> Таким образом, угол между неколлинеарными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): <ul> <li>тупой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} < 0\);</li> <li>прямой, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\);</li> <li>острый, если \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\).</li> </ul>