Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если: а) \(\vec{a}(7; -4)\), \(\vec{b}(2; 3)\); б) \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 5\sqrt{3}\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ\).

Ответ

а) 2; б) 30.

Решение № 40626:

### а) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a}(7; -4)\), \(\vec{b}(2; 3)\). <ol> <li>Запишем координаты векторов: \[ \vec{a} = (7, -4), \quad \vec{b} = (2, 3) \] </li> <li>Используем формулу скалярного произведения векторов: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] </li> <li>Подставим координаты векторов в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 7 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 \] </li> <li>Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 14 - 12 \] </li> <li>Выполним вычитание: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 2 \] </li> </ol> Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно 2. Ответ: 2 ### б) Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 5\sqrt{3}\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ\). <ol> <li>Запишем данные: \[ |\vec{a}| = 4, \quad |\vec{b}| = 5\sqrt{3}, \quad \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ \] </li> <li>Используем формулу скалярного произведения векторов через их модули и угол между ними: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \] </li> <li>Подставим данные в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ \] </li> <li>Найдем значение \(\cos 30^\circ\): \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] </li> <li>Подставим значение \(\cos 30^\circ\) в формулу: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} \] </li> <li>Выполним умножение: \[ (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 5 \cdot 1.5 = 30 \] </li> </ol> Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равно 30. Ответ: 30