Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите угол между векторами: а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\); б) \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\).

Ответ

а) \(90^\circ\); б) \(45^\circ\).

Решение № 40629:

Для нахождения угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) используется формула косинуса угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — модули векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) соответственно. ### а) \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\) <ol> <li>Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot (-8) = -8 + 8 = 0 \] </li> <li>Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] </li> <li>Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] </li> <li>Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}} = \frac{0}{20} = 0 \] </li> <li>Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos(0) = 90^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}(2; -1)\) и \(\vec{b}(-4; -8)\) равен \(90^\circ\). ### б) \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\) <ol> <li>Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5 \] </li> <li>Найдем модуль вектора \(\vec{a}\): \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] </li> <li>Найдем модуль вектора \(\vec{b}\): \[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] </li> <li>Найдем косинус угла между векторами: \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] </li> <li>Найдем угол \(\phi\): \[ \phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол между векторами \(\vec{a}(2; 1)\) и \(\vec{b}(1; 3)\) равен \(45^\circ\).