Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Даны точки \(А(2; 3)\), \(В(4; 6)\), \(С(7; 8)\), \(D(11; х)\). Найдите значение \(х\), при котором векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{СD}\) коллинеарны. Сонаправлены ли эти векторы?

Ответ

14; да.

Решение № 40639:

Для решения задачи о коллинеарности векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[ \vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (4 - 2, 6 - 3) = (2, 3) \] </li> <li>Найдем координаты вектора \(\vec{CD}\): \[ \vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (11 - 7, x - 8) = (4, x - 8) \] </li> <li>Для того чтобы векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{x - 8} \] </li> <li>Упростим дробь слева: \[ \frac{1}{2} = \frac{3}{x - 8} \] </li> <li>Перекрестное умножение для решения уравнения: \[ 1 \cdot (x - 8) = 2 \cdot 3 \] \[ x - 8 = 6 \] </li> <li>Решим уравнение: \[ x = 6 + 8 = 14 \] </li> </ol> Таким образом, значение \(x\), при котором векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны, равно \(14\). <ol> <li>Теперь проверим, сонаправлены ли векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{AB} = (2, 3) \] \[ \vec{CD} = (4, 14 - 8) = (4, 6) \] </li> <li>Проверим пропорциональность координат векторов: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] </li> <li>Поскольку обе координаты векторов пропорциональны с одинаковым знаком, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) сонаправлены. </li> </ol> Ответ: \(x = 14\), векторы сонаправлены.