Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В прямоугольнике \(АВСD АВ = 3\), \(ВС = 4\), \(О\) - точка пересечения диагоналей. Найдите: а) \(|\vec{AB} + \vec{AD}|\); б) \(|\vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC}|\); в) \(|\vec{AO} - \vec{BC}|\).

Ответ

а) 5; б) 5; в) 2,5.

Решение № 40597:

Для решения задачи о прямоугольнике \(ABCD\) с \(AB = 3\), \(BC = 4\) и точкой пересечения диагоналей \(O\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем данные: \[ AB = 3, \quad BC = 4 \] </li> <li>Найдем длины диагоналей: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] </li> <li>Определим координаты точек: \[ A(0, 0), \quad B(3, 0), \quad C(3, 4), \quad D(0, 4) \] </li> </ol> а) \(|\vec{AB} + \vec{AD}|\): <ol> <li>Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\): \[ \vec{AB} = (3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 4) \] </li> <li>Сложим векторы: \[ \vec{AB} + \vec{AD} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) \] </li> <li>Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] </li> </ol> Ответ: \(5\) б) \(|\vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC}|\): <ol> <li>Найдем координаты точки \(O\) (точка пересечения диагоналей): \[ O\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{2}\right) = O\left(1.5, 2\right) \] </li> <li>Найдем векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{OD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AO} = (1.5, 2), \quad \vec{OD} = \left(0 - 1.5, 4 - 2\right) = (-1.5, 2), \quad \vec{DC} = (3, 0) \] </li> <li>Сложим векторы: \[ \vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC} = (1.5, 2) + (-1.5, 2) + (3, 0) = (1.5 - 1.5 + 3, 2 + 2 + 0) = (3, 4) \] </li> <li>Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] </li> </ol> Ответ: \(5\) в) \(|\vec{AO} - \vec{BC}|\): <ol> <li>Найдем вектор \(\vec{BC}\): \[ \vec{BC} = (0, 4) \] </li> <li>Вычтем векторы: \[ \vec{AO} - \vec{BC} = (1.5, 2) - (0, 4) = (1.5, 2 - 4) = (1.5, -2) \] </li> <li>Найдем модуль разности векторов: \[ |\vec{AO} - \vec{BC}| = \sqrt{1.5^2 + (-2)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \] </li> </ol> Ответ: \(2.5\)