Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Даны точки \(А(1; 5)\), \(В(3; 1)\), \(С(5; 2)\). Найдите угол \(АВС\).

Ответ

\(90^\circ\).

Решение № 40609:

Для нахождения угла \( \angle AVS \) между векторами \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \), выполним следующие шаги: <ol> <li>Найдем координаты векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ \overrightarrow{AV} = (V_x - A_x, V_y - A_y) = (3 - 1, 1 - 5) = (2, -4) \] \[ \overrightarrow{VS} = (S_x - V_x, S_y - V_y) = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1) \] </li> <li>Найдем длины векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ |\overrightarrow{AV}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{VS}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] </li> <li>Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AV} \) и \( \overrightarrow{VS} \): \[ \overrightarrow{AV} \cdot \overrightarrow{VS} = 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \] </li> <li>Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AV} \cdot \overrightarrow{VS}}{|\overrightarrow{AV}| \cdot |\overrightarrow{VS}|} = \frac{0}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{0}{10} = 0 \] </li> <li>Найдем угол \( \theta \) между векторами: \[ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \text{ радиан} \] \[ \theta = 90^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол \( \angle AVS \) равен \( 90^\circ \). Ответ: \( 90^\circ \)