Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сторона равностороннего треугольника \(АВС\) равна \(a\). Найдите: а) \(|\vec{AB} + \vec{ВС}|\); б) \(|\vec{AB} + \vec{AС}|\); в) \(|\vec{CA} - \vec{СB}|\); г) \(|\vec{AB} - \vec{ВС}|\).

Ответ

а) \(а\); б) \(а\sqrt{3}\); в) \(а\); г) \(а\sqrt{3}\).

Решение № 40588:

Для решения задачи о равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(a\). </li> <li>Определим величины векторов: \[ |\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = a \] </li> <li>Перейдем к решению каждого пункта: <ol type=a> <li>Найдем \(|\vec{AB} + \vec{BC}|\): <ol> <li>Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).</li> <li>Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \] </li> <li>Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \] </li> <li>Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \] </li> <li>Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = a \] </li> </ol> </li> <li>Найдем \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\): <ol> <li>Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) образуют угол \(120^\circ\).</li> <li>Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(120^\circ)} \] </li> <li>Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \] </li> <li>Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \] </li> <li>Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = a \] </li> </ol> </li> <li>Найдем \(|\vec{CA} - \vec{CB}|\): <ol> <li>Векторы \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\) образуют угол \(60^\circ\).</li> <li>Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 - 2|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos(60^\circ)} \] </li> <li>Подставим значения: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)} \] </li> <li>Используем \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \] </li> <li>Таким образом: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = a \] </li> </ol> </li> <li>Найдем \(|\vec{AB} - \vec{BC}|\): <ol> <li>Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).</li> <li>Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \] </li> <li>Подставим значения: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \] </li> <li>Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] </li> <li>Таким образом: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = a\sqrt{3} \] </li> </ol> </li> </ol> </li> </ol> Ответы: а) \(|\vec{AB} + \vec{BC}| = a\) б) \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = a\) в) \(|\vec{CA} - \vec{CB}| = a\) г) \(|\vec{AB} - \vec{BC}| = a\sqrt{3}\)