Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Может ли быть равной нулевому вектору сумма трех векторов, длины которых равны: а) 1, 2 и 9; б) 3, 5 и 8; в) 3, 4 и 5?

Ответ

а) Нет; б) да; в) да.

Решение № 40604:

Для решения задачи, могут ли быть равной нулевому вектору суммы трех векторов, длины которых равны: а) 1, 2 и 9; б) 3, 5 и 8; в) 3, 4 и 5, выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим векторы как \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) с длинами \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) и \(|\vec{c}|\) соответственно. Для того чтобы сумма векторов была равна нулевому вектору, необходимо, чтобы: \[ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \] </li> <li>Известно, что сумма трех векторов равна нулю, если они могут быть расположены таким образом, чтобы образовали замкнутый треугольник. Это означает, что длины векторов должны удовлетворять неравенству треугольника: \[ |\vec{a}| + |\vec{b}| > |\vec{c}| \] \[ |\vec{a}| + |\vec{c}| > |\vec{b}| \] \[ |\vec{b}| + |\vec{c}| > |\vec{a}| \] </li> <li>Проверим условия для каждого набора длин векторов: <ol type=a> <li>Длины векторов: 1, 2 и 9. \[ 1 + 2 = 3 \quad \text{и} \quad 3 < 9 \] \[ 1 + 9 = 10 \quad \text{и} \quad 10 > 2 \] \[ 2 + 9 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 1 \] Неравенство \(1 + 2 < 9\) не выполняется, следовательно, сумма векторов с длинами 1, 2 и 9 не может быть равна нулевому вектору. </li> <li>Длины векторов: 3, 5 и 8. \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 = 8 \] \[ 3 + 8 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 5 \] \[ 5 + 8 = 13 \quad \text{и} \quad 13 > 3 \] Неравенство \(3 + 5 = 8\) не выполняется (должно быть строгое неравенство), следовательно, сумма векторов с длинами 3, 5 и 8 не может быть равна нулевому вектору. </li> <li>Длины векторов: 3, 4 и 5. \[ 3 + 4 = 7 \quad \text{и} \quad 7 > 5 \] \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 > 4 \] \[ 4 + 5 = 9 \quad \text{и} \quad 9 > 3 \] Все неравенства выполняются, следовательно, сумма векторов с длинами 3, 4 и 5 может быть равна нулевому вектору. </li> </ol> </li> </ol> Таким образом, сумма трех векторов с длинами: а) 1, 2 и 9 не может быть равна нулевому вектору; б) 3, 5 и 8 не может быть равна нулевому вектору; в) 3, 4 и 5 может быть равна нулевому вектору. Ответ: в)