Экзамены с этой задачей: Векторы и операции с ними

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В треугольнике \(АВС \angle А = 30^\circ\), \(\angle В = 90^\circ\), \(АС = а\). Найдите: а) \(|\vec{BA} + \vec{AС}|\); б) \(|\vec{BA} + \vec{ВС}|\); в) \(|\vec{CB} - \vec{СA}|\); г) \(|\vec{BC} - \vec{ВA}|\).

Ответ

а) \(0,5а\); б) \(а\); в) \(\fraq{a\sqrt{3}}{2}\); г) \(a\).

Решение № 40589:

Для решения задачи в треугольнике \(ABC\) с углами \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\) и стороной \(AC = a\), найдем величины векторов: <ol> <li>Найдем длины сторон треугольника \(ABC\): <ul> <li>Поскольку \(\angle B = 90^\circ\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным.</li> <li>Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:</li> <li>\(BC = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)</li> <li>\(AB = a \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)</li> </ul> </li> <li>Найдем \(|\vec{BA} + \vec{AC}|\): <ul> <li>Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).</li> <li>Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:</li> <li>\(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \sqrt{BA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)</li> </ul> </li> <li>Найдем \(|\vec{BA} + \vec{BC}|\): <ul> <li>Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).</li> <li>Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:</li> <li>\(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{9a^2 + 4a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)</li> </ul> </li> <li>Найдем \(|\vec{CB} - \vec{CA}|\): <ul> <li>Векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).</li> <li>Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:</li> <li>\(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \sqrt{CB^2 + CA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)</li> </ul> </li> <li>Найдем \(|\vec{BC} - \vec{BA}|\): <ul> <li>Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{BA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).</li> <li>Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:</li> <li>\(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \sqrt{BC^2 + BA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 + 9a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)</li> </ul> </li> </ol> Таким образом, ответы на задачи: <ol type=a> <li>\(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)</li> <li>\(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)</li> <li>\(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)</li> <li>\(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)</li> </ol>