Решение №40576: Для решения задачи Может ли сумма двух векторов быть равной: а) нулю; б) нулевому вектору; в) одному из векторов-слагаемых? выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
2. Сумма двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) записывается как \(\vec{a} + \vec{b}\).
3. Рассмотрим каждый из случаев:
1. Может ли сумма двух векторов быть равной нулю?
   1. Сумма двух векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) не может быть равна числу 0, так как сумма векторов всегда является вектором, а не числом.
2. Может ли сумма двух векторов быть равной нулевому вектору?
   1. Сумма двух векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) может быть равна нулевому вектору \(\vec{0}\), если \(\vec{a} = -\vec{b}\). Это означает, что векторы противоположны по направлению и равны по величине.
3. Может ли сумма двух векторов быть равной одному из векторов-слагаемых?
   1. Сумма двух векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) может быть равна одному из векторов-слагаемых, если другой вектор является нулевым вектором.
   2. Например, если \(\vec{b} = \vec{0}\), то \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{a}\).

1. Не может быть равной числу нулю.
2. Может быть равной нулевому вектору.
3. Может быть равной одному из векторов-слагаемых, если другой вектор является нулевым вектором.

1. Нет.
2. Да.
3. Да.

Ответ: NaN

Решение №40577: Для решения задачи Может ли длина вектора-суммы быть равной сумме длин векторов-слагаемых? Если может, то в каком случае? выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
2. Длина вектора-суммы \(\vec{a} + \vec{b}\) определяется как \(|\vec{a} + \vec{b}|\).
3. Сумма длин векторов-слагаемых равна \(|\vec{a}| + |\vec{b}|\).
4. Для того чтобы длина вектора-суммы была равна сумме длин векторов-слагаемых, необходимо выполнение условия: \[ |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| \]
5. Это условие выполняется, когда векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление и находятся на одной прямой.
6. В этом случае векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно представить в виде \(\vec{a} = k \vec{b}\), где \(k > 0\).
7. Тогда вектор-сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) будет иметь длину: \[ |\vec{a} + \vec{b}| = |k \vec{b} + \vec{b}| = |(k+1) \vec{b}| = (k+1) |\vec{b}| \]
8. Сумма длин векторов-слагаемых будет: \[ |\vec{a}| + |\vec{b}| = |k \vec{b}| + |\vec{b}| = k |\vec{b}| + |\vec{b}| = (k+1) |\vec{b}| \]
9. Таким образом, \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\) выполняется, когда \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены.

Ответ: NaN

Решение №40578: Для решения задачи о векторных суммах в параллелограмме \(ABCD\) выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{AB} + \vec{BD}\)

1. Рассмотрим вектор \(\vec{AB}\), который идет от точки \(A\) к точке \(B\).
2. Рассмотрим вектор \(\vec{BD}\), который идет от точки \(B\) к точке \(D\).
3. Сложим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\): \[ \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} \] Поскольку \(\vec{AB}\) и \(\vec{BD}\) образуют прямой путь от \(A\) до \(D\), их сумма равна \(\vec{AD}\).

1. Рассмотрим вектор \(\vec{BA}\), который идет от точки \(B\) к точке \(A\).
2. Рассмотрим вектор \(\vec{BC}\), который идет от точки \(B\) к точке \(C\).
3. Сложим векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{AC} \] Поскольку \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) образуют прямой путь от \(A\) до \(C\), их сумма равна \(\vec{AC}\).

1. Рассмотрим вектор \(\vec{AO}\), который идет от точки \(A\) к точке \(O\) (пересечение диагоналей).
2. Рассмотрим вектор \(\vec{OC}\), который идет от точки \(O\) к точке \(C\).
3. Сложим векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\): \[ \vec{AO} + \vec{OC} = \vec{AC} \] Поскольку \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) образуют прямой путь от \(A\) до \(C\), их сумма равна \(\vec{AC}\).

1. Рассмотрим вектор \(\vec{BO}\), который идет от точки \(B\) к точке \(O\) (пересечение диагоналей).
2. Рассмотрим вектор \(\vec{DO}\), который идет от точки \(D\) к точке \(O\).
3. Сложим векторы \(\vec{BO}\) и \(\vec{DO}\): \[ \vec{BO} + \vec{DO} = \vec{BD} \] Поскольку \(\vec{BO}\) и \(\vec{DO}\) образуют прямой путь от \(B\) до \(D\), их сумма равна \(\vec{BD}\).

Ответ: NaN

Решение №40579: Для того чтобы определить, может ли разность двух векторов быть равной их сумме, рассмотрим два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

1. Запишем уравнение, которое нужно проверить: \[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + \vec{b} \]
2. Перенесем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) на одну сторону уравнения: \[ \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} - \vec{b} = 0 \]
3. Упростим уравнение: \[ -2\vec{b} = 0 \]
4. Решим уравнение для \(\vec{b}\): \[ \vec{b} = 0 \]

Ответ: NaN

Решение №40580: Для решения задачи о нахождении векторов, противоположных данным векторам в параллелограмме \(ABCD\), выполним следующие шаги: ### а) Вектор, противоположный вектору \(\vec{BC}\):

1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\).
2. Вектор \(\vec{BC}\) направлен от точки \(B\) к точке \(C\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор, противоположный \(\vec{BC}\), будет направлен от точки \(C\) к точке \(B\).
4. Таким образом, вектор, противоположный \(\vec{BC}\), это \(\vec{CB}\).

1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\).
2. Предположим, что точка \(O\) является началом координат или какой-то фиксированной точкой в пространстве.
3. Вектор \(\vec{OA}\) направлен от точки \(O\) к точке \(A\).
4. Вектор, противоположный \(\vec{OA}\), будет направлен от точки \(A\) к точке \(O\).
5. Таким образом, вектор, противоположный \(\vec{OA}\), это \(\vec{AO}\).

Ответ: NaN

Решение №40581: Для решения задачи о векторных разностях в параллелограмме \(ABCD\), выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{АВ} - \vec{АС}\)

1. Выразим вектор \(\vec{АВ}\) через векторы \(\vec{АС}\) и \(\vec{СВ}\): \[ \vec{АВ} = \vec{АС} + \vec{СВ} \]
2. Подставим \(\vec{АВ}\) в выражение \(\vec{АВ} - \vec{АС}\): \[ \vec{АВ} - \vec{АС} = (\vec{АС} + \vec{СВ}) - \vec{АС} \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{АВ} - \vec{АС} = \vec{СВ} \]

1. Выразим вектор \(\vec{АВ}\) через векторы \(\vec{АD}\) и \(\vec{DВ}\): \[ \vec{АВ} = \vec{АD} + \vec{DВ} \]
2. Подставим \(\vec{АВ}\) в выражение \(\vec{АВ} - \vec{DА}\): \[ \vec{АВ} - \vec{DА} = (\vec{АD} + \vec{DВ}) - \vec{DА} \]
3. Упростим выражение: \[ \vec{АВ} - \vec{DА} = \vec{DВ} + \vec{АD} \]
4. Поскольку \(\vec{DА} = -\vec{АD}\), то: \[ \vec{АВ} - \vec{DА} = \vec{DВ} + \vec{АD} + \vec{АD} = \vec{DВ} + \vec{0} = \vec{DВ} \]

1. Выразим вектор \(\vec{АD}\) через векторы \(\vec{АB}\) и \(\vec{BD}\): \[ \vec{АD} = \vec{АB} + \vec{BD} \]
2. Выразим вектор \(\vec{BС}\) через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AS}\): \[ \vec{BС} = \vec{BA} + \vec{AS} \]
3. Подставим \(\vec{АD}\) и \(\vec{BС}\) в выражение \(\vec{АD} - \vec{BС}\): \[ \vec{АD} - \vec{BС} = (\vec{АB} + \vec{BD}) - (\vec{BA} + \vec{AS}) \]
4. Упростим выражение: \[ \vec{АD} - \vec{BС} = \vec{АB} + \vec{BD} - \vec{BA} - \vec{AS} \]
5. Поскольку \(\vec{BA} = -\vec{АB}\), то: \[ \vec{АD} - \vec{BС} = \vec{АB} + \vec{BD} + \vec{АB} - \vec{AS} = \vec{BD} - \vec{AS} \]
6. Поскольку \(\vec{BD} = \vec{AS}\), то: \[ \vec{АD} - \vec{BС} = \vec{BD} - \vec{BD} = \vec{0} \]

Ответ: NaN

Решение №40582: Для решения задачи о построении векторов и определения противоположных векторов выполним следующие шаги:

1. Перечертите векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) из рисунка в тетрадь.
2. Постройте вектор \(\vec{a} + \vec{b}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{a}\).
   • Приложите вектор \(\vec{b}\) к концу вектора \(\vec{a}\).
   • Конец вектора \(\vec{b}\) будет концом вектора \(\vec{a} + \vec{b}\).
3. Постройте вектор \(\vec{c} - \vec{d}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{c}\).
   • Приложите вектор \(-\vec{d}\) (противоположный вектор \(\vec{d}\)) к концу вектора \(\vec{c}\).
   • Конец вектора \(-\vec{d}\) будет концом вектора \(\vec{c} - \vec{d}\).
4. Постройте вектор \(\vec{b} + \vec{d}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{b}\).
   • Приложите вектор \(\vec{d}\) к концу вектора \(\vec{b}\).
   • Конец вектора \(\vec{d}\) будет концом вектора \(\vec{b} + \vec{d}\).
5. Постройте вектор \(\vec{d} - \vec{b}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{d}\).
   • Приложите вектор \(-\vec{b}\) (противоположный вектор \(\vec{b}\)) к концу вектора \(\vec{d}\).
   • Конец вектора \(-\vec{b}\) будет концом вектора \(\vec{d} - \vec{b}\).
6. Постройте вектор \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{a}\).
   • Последовательно приложите векторы \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) к концам предыдущих векторов.
   • Конец вектора \(\vec{d}\) будет концом вектора \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\).
7. Постройте вектор \(\vec{b} - \vec{d}\):
   • Начните с начала вектора \(\vec{b}\).
   • Приложите вектор \(-\vec{d}\) (противоположный вектор \(\vec{d}\)) к концу вектора \(\vec{b}\).
   • Конец вектора \(-\vec{d}\) будет концом вектора \(\vec{b} - \vec{d}\).
8. Проверьте, есть ли среди построенных векторов противоположные:
   • Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления.
   • Сравните все построенные векторы между собой.

Ответ: NaN

Решение №40583: Для решения задачи о перечерчивании векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) и построении новых векторов, выполним следующие шаги:

а) Построение векторов \(\vec{b} + \vec{d}\), \(\vec{a} + \vec{c}\), \(\vec{a} + \vec{d}\) по правилам треугольника и параллелограмма, а также с помощью координат:

1. Перечертим векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) в тетрадь.
2. Для построения вектора \(\vec{b} + \vec{d}\) по правилу треугольника:
1. Нарисуем вектор \(\vec{b}\).
2. Из конца вектора \(\vec{b}\) нарисуем вектор \(\vec{d}\).
3. Соединим начало вектора \(\vec{b}\) с концом вектора \(\vec{d}\). Полученный вектор будет \(\vec{b} + \vec{d}\).
3. Для построения вектора \(\vec{a} + \vec{c}\) по правилу параллелограмма:
1. Нарисуем вектор \(\vec{a}\).
2. Из конца вектора \(\vec{a}\) нарисуем вектор \(\vec{c}\).
3. Соединим начало вектора \(\vec{a}\) с концом вектора \(\vec{c}\). Полученный вектор будет \(\vec{a} + \vec{c}\).
4. Для построения вектора \(\vec{a} + \vec{d}\) с помощью координат:
1. Определим координаты векторов \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) и \(\vec{d} = (d_1, d_2)\).
2. Вычислим координаты вектора \(\vec{a} + \vec{d}\): \((a_1 + d_1, a_2 + d_2)\).
3. Нарисуем вектор с координатами \((a_1 + d_1, a_2 + d_2)\).

б) Построение векторов \(\vec{b} - \vec{d}\), \(\vec{a} - \vec{c}\), \(\vec{c} - \vec{a}\) тремя способами:

1. Для построения вектора \(\vec{b} - \vec{d}\) по правилу треугольника:
1. Нарисуем вектор \(\vec{b}\).
2. Из конца вектора \(\vec{b}\) нарисуем вектор \(-\vec{d}\) (отрицательный вектор \(\vec{d}\)).
3. Соединим начало вектора \(\vec{b}\) с концом вектора \(-\vec{d}\). Полученный вектор будет \(\vec{b} - \vec{d}\).
2. Для построения вектора \(\vec{a} - \vec{c}\) по правилу параллелограмма:
1. Нарисуем вектор \(\vec{a}\).
2. Из конца вектора \(\vec{a}\) нарисуем вектор \(-\vec{c}\) (отрицательный вектор \(\vec{c}\)).
3. Соединим начало вектора \(\vec{a}\) с концом вектора \(-\vec{c}\). Полученный вектор будет \(\vec{a} - \vec{c}\).
3. Для построения вектора \(\vec{c} - \vec{a}\) с помощью координат:
1. Определим координаты векторов \(\vec{c} = (c_1, c_2)\) и \(\vec{a} = (a_1, a_2)\).
2. Вычислим координаты вектора \(\vec{c} - \vec{a}\): \((c_1 - a_1, c_2 - a_2)\).
3. Нарисуем вектор с координатами \((c_1 - a_1, c_2 - a_2)\).

Ответ: NaN

Решение №40584: Для решения задачи, начертим произвольный треугольник \(ABC\) и выполним следующие шаги: ### Часть а) 1. **Начертите произвольный треугольник \(ABC\).** 2. **Постройте вектор \(\vec{AD}\), равный сумме \(\vec{AB} + \vec{AC}\).** - Используем правило параллелограмма для сложения векторов. - Найдем точку \(D\) такую, что \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}\). 3. **Найдите сумму векторов \(\vec{DB}\) и \(\vec{AC}\).** - Поскольку \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}\), то \(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\). - Подставим \(\vec{DA} = -\vec{AD}\): \[ \vec{DB} = -\vec{AD} + \vec{AB} = -(\vec{AB} + \vec{AC}) + \vec{AB} = -\vec{AC} \] - Сумма векторов \(\vec{DB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{DB} + \vec{AC} = -\vec{AC} + \vec{AC} = \vec{0} \] ### Часть б) 1. **Постройте вектор \(\vec{AE}\), равный разности \(\vec{AB} - \vec{AC}\).** - Найдем точку \(E\) такую, что \(\vec{AE} = \vec{AB} - \vec{AC}\). 2. **Равны ли векторы \(\vec{AE}\) и \(\vec{BC}\) ?** - Вектор \(\vec{AE}\) равен \(\vec{AB} - \vec{AC}\). - Вектор \(\vec{BC}\) можно выразить через \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\): \[ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} \] - Сравним \(\vec{AE}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AE} = \vec{AB} - \vec{AC} \] \[ \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} \] - Видно, что \(\vec{AE} = -\vec{BC}\), следовательно, векторы \(\vec{AE}\) и \(\vec{BC}\) равны по модулю, но противоположны по направлению. ### Заключение - В части а) сумма векторов \(\vec{DB}\) и \(\vec{AC}\) равна нулевому вектору: \(\vec{DB} + \vec{AC} = \vec{0}\). - В части б) векторы \(\vec{AE}\) и \(\vec{BC}\) равны по модулю, но противоположны по направлению: \(\vec{AE} = -\vec{BC}\). Ответ: - а) \(\vec{DB} + \vec{AC} = \vec{0}\) - б) \(\vec{AE} = -\vec{BC}\)

Ответ: NaN

Решение №40585: ### а) \(\vec{a}(2; -9)\), \(\vec{b}(6; 3)\)

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (2, -9), \quad \vec{b} = (6, 3) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (2 + 6, -9 + 3) = (8, -6) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (0, 4), \quad \vec{b} = (-3, 0) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (0 + (-3), 4 + 0) = (-3, 4) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Запишем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{a} = (-1, 5), \quad \vec{b} = (1, -5) \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{c} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2) \] Подставим значения: \[ \vec{c} = (-1 + 1, 5 + (-5)) = (0, 0) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \] Подставим значения: \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 0^2} = \sqrt{0} = 0 \]

Ответ: NaN

Решение №40586: Для решения задачи найти координаты и длину вектора \(\vec{c}\), равного \(\vec{a} - \vec{b}\), выполним следующие шаги:

1. Выразим вектор \(\vec{c}\) как разность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\): \[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \]
2. Найдем координаты вектора \(\vec{c}\) для каждого случая:
   1. Для \(\vec{a}(-4; 7)\) и \(\vec{b}(8; 2)\): \[ \vec{c} = (-4 - 8; 7 - 2) = (-12; 5) \]
   2. Для \(\vec{a}(2; -2)\) и \(\vec{b}(-3; 3)\): \[ \vec{c} = (2 - (-3); -2 - 3) = (2 + 3; -2 - 3) = (5; -5) \]
   3. Для \(\vec{a}(0; 1)\) и \(\vec{b}(0; -2)\): \[ \vec{c} = (0 - 0; 1 - (-2)) = (0; 1 + 2) = (0; 3) \]
3. Найдем длину вектора \(\vec{c}\) для каждого случая. Длина вектора \(\vec{c}\) определяется формулой: \[ |\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} \]
   1. Для \(\vec{c}(-12; 5)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]
   2. Для \(\vec{c}(5; -5)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
   3. Для \(\vec{c}(0; 3)\): \[ |\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3 \]

1. \(\vec{c}(-12; 5)\), \(|\vec{c}| = 13\)
2. \(\vec{c}(5; -5)\), \(|\vec{c}| = 5\sqrt{2}\)
3. \(\vec{c}(0; 3)\), \(|\vec{c}| = 3\)

Ответ: NaN

Решение №40587: Для решения задачи нахождения вектор-суммы \(\vec{a} + \vec{b}\) и вектор-разности \(\vec{a} - \vec{b}\) выполним следующие шаги:

а) \(\vec{a}(-3; -1)\), \(\vec{b}(-1; 2)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (-3, -1), \quad \vec{b} = (-1, 2) \]
2. Найдем вектор-сумму \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (-3, -1) + (-1, 2) = (-3 - 1, -1 + 2) = (-4, 1) \]
3. Найдем вектор-разность \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (-3, -1) - (-1, 2) = (-3 + 1, -1 - 2) = (-2, -3) \]

б) \(\vec{a}(2; -7)\), \(\vec{b}(2; 3)\)

1. Запишем векторы: \[ \vec{a} = (2, -7), \quad \vec{b} = (2, 3) \]
2. Найдем вектор-сумму \(\vec{a} + \vec{b}\): \[ \vec{a} + \vec{b} = (2, -7) + (2, 3) = (2 + 2, -7 + 3) = (4, -4) \]
3. Найдем вектор-разность \(\vec{a} - \vec{b}\): \[ \vec{a} - \vec{b} = (2, -7) - (2, 3) = (2 - 2, -7 - 3) = (0, -10) \]

а) \(\vec{a}(-3; -1)\), \(\vec{b}(-1; 2)\)

• Вектор-сумма: \(\vec{a} + \vec{b} = (-4, 1)\)
• Вектор-разность: \(\vec{a} - \vec{b} = (-2, -3)\)

б) \(\vec{a}(2; -7)\), \(\vec{b}(2; 3)\)

• Вектор-сумма: \(\vec{a} + \vec{b} = (4, -4)\)
• Вектор-разность: \(\vec{a} - \vec{b} = (0, -10)\)

Ответ: а) \(\vec{(-4; 1)}\) и \(\vec{(-2; -3)}\); б) \(\vec{(4; -4)}\) и \(\vec{(0; -10)}\).

Решение №40588: Для решения задачи о равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(a\).
2. Определим величины векторов: \[ |\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = a \]
3. Перейдем к решению каждого пункта:
   1. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{BC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{BC}| = a \]
   2. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу суммы векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = a \]
   3. Найдем \(|\vec{CA} - \vec{CB}|\):
      1. Векторы \(\vec{CA}\) и \(\vec{CB}\) образуют угол \(60^\circ\).
      2. Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{CA}|^2 + |\vec{CB}|^2 - 2|\vec{CA}||\vec{CB}|\cos(60^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{a^2 + a^2 - a^2} = \sqrt{a^2} = a \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{CA} - \vec{CB}| = a \]
   4. Найдем \(|\vec{AB} - \vec{BC}|\):
      1. Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) образуют угол \(120^\circ\).
      2. Используем формулу разности векторов через угол между ними: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2|\vec{AB}||\vec{BC}|\cos(120^\circ)} \]
      3. Подставим значения: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)} \]
      4. Используем \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
      5. Таким образом: \[ |\vec{AB} - \vec{BC}| = a\sqrt{3} \]

Ответ: а) \(а\); б) \(а\sqrt{3}\); в) \(а\); г) \(а\sqrt{3}\).

Решение №40589: Для решения задачи в треугольнике \(ABC\) с углами \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\) и стороной \(AC = a\), найдем величины векторов:

1. Найдем длины сторон треугольника \(ABC\):
   • Поскольку \(\angle B = 90^\circ\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
   • Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:
   • \(BC = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
   • \(AB = a \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
2. Найдем \(|\vec{BA} + \vec{AC}|\):
   • Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:
   • \(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \sqrt{BA^2 + AC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)
3. Найдем \(|\vec{BA} + \vec{BC}|\):
   • Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины суммы векторов:
   • \(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{9a^2 + 4a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)
4. Найдем \(|\vec{CB} - \vec{CA}|\):
   • Векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{CA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:
   • \(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \sqrt{CB^2 + CA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
5. Найдем \(|\vec{BC} - \vec{BA}|\):
   • Векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{BA}\) перпендикулярны, так как \(\angle B = 90^\circ\).
   • Используем теорему Пифагора для нахождения длины разности векторов:
   • \(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \sqrt{BC^2 + BA^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 + 9a^2}{12}} = \sqrt{\frac{13a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)

1. \(|\vec{BA} + \vec{AC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}\)
2. \(|\vec{BA} + \vec{BC}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)
3. \(|\vec{CB} - \vec{CA}| = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
4. \(|\vec{BC} - \vec{BA}| = \frac{a\sqrt{39}}{6}\)

Ответ: а) \(0,5а\); б) \(а\); в) \(\fraq{a\sqrt{3}}{2}\); г) \(a\).

Решение №40590: Для доказательства того, что в четырехугольнике \(ABCD\) выполняется равенство \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\).
2. Запишем вектор \(\vec{AB}\), который идет от точки \(A\) до точки \(B\).
3. Запишем вектор \(\vec{BC}\), который идет от точки \(B\) до точки \(C\).
4. Запишем вектор \(\vec{AD}\), который идет от точки \(A\) до точки \(D\).
5. Запишем вектор \(\vec{DC}\), который идет от точки \(D\) до точки \(C\).
6. Теперь сложим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AB} + \vec{BC} \] Этот вектор представляет собой путь от точки \(A\) до точки \(C\) через точку \(B\).
7. Теперь сложим векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AD} + \vec{DC} \] Этот вектор представляет собой путь от точки \(A\) до точки \(C\) через точку \(D\).
8. Оба выражения \(\vec{AB} + \vec{BC}\) и \(\vec{AD} + \vec{DC}\) представляют собой вектор, который идет от точки \(A\) до точки \(C\). Следовательно, они равны: \[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC} \]

Ответ: NaN

Решение №40591: Для доказательства того, что в треугольнике \(ABC\) верно равенство \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0\), выполним следующие шаги:

1. Запишем векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\) в треугольнике \(ABC\).
2. Используем свойства векторного сложения: \[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} \]
3. Заметим, что \(\vec{BC}\) можно записать как \(\vec{B} + \vec{C}\), а \(\vec{CA}\) как \(\vec{C} + \vec{A}\): \[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AB} + (\vec{B} + \vec{C}) + (\vec{C} + \vec{A}) \]
4. Упростим выражение, объединяя векторы: \[ \vec{AB} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{C} + \vec{A} \]
5. Учитываем, что \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\), \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}\) и \(\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C}\): \[ (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{A} - \vec{C}) \]
6. Сложим векторы: \[ \vec{B} - \vec{A} + \vec{C} - \vec{B} + \vec{A} - \vec{C} \]
7. Применим свойства векторной алгебры, что противоположные векторы взаимно уничтожаются: \[ \vec{B} - \vec{B} + \vec{C} - \vec{C} + \vec{A} - \vec{A} = 0 \]

Ответ: NaN

Решение №40592: Для решения задачи о выражении векторов через \(\vec{a} = \vec{AM}\) и \(\vec{b} = \vec{AN}\) выполним следующие шаги: ### а) Выразим вектор \(\vec{MB}\):

1. Заметим, что точка \(M\) является серединой стороны \(AB\), поэтому \(\vec{AM} = \vec{a}\).
2. Вектор \(\vec{MB}\) можно выразить через вектор \(\vec{AB}\). Поскольку \(M\) - середина \(AB\), то \(\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}\).
3. Так как \(\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{a}\), то \(\vec{MB} = -\vec{a} + \vec{AB}\).
4. Поскольку \(M\) - середина \(AB\), то \(\vec{AB} = 2\vec{a}\).
5. Подставим \(\vec{AB}\) в уравнение: \(\vec{MB} = -\vec{a} + 2\vec{a} = \vec{a}\).

1. Заметим, что точка \(N\) является серединой стороны \(AC\), поэтому \(\vec{AN} = \vec{b}\).
2. Вектор \(\vec{CN}\) можно выразить через вектор \(\vec{AC}\). Поскольку \(N\) - середина \(AC\), то \(\vec{CN} = \vec{CA} + \vec{AN}\).
3. Так как \(\vec{CA} = -\vec{AC}\), то \(\vec{CN} = -\vec{AC} + \vec{AN}\).
4. Поскольку \(N\) - середина \(AC\), то \(\vec{AC} = 2\vec{b}\).
5. Подставим \(\vec{AC}\) в уравнение: \(\vec{CN} = -2\vec{b} + \vec{b} = -\vec{b}\).

1. Вектор \(\vec{MN}\) можно выразить через векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{AN}\).
2. Так как \(\vec{MA} = -\vec{a}\) и \(\vec{AN} = \vec{b}\), то \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}\).
3. Подставим \(\vec{MA}\) и \(\vec{AN}\) в уравнение: \(\vec{MN} = -\vec{a} + \vec{b}\).

Ответ: а) \(\vec{а}\); б) \(-\vec{b}\); в) \(\vec{b} - \vec{a}\).

Решение №40593: Для решения задачи выразим векторы \(\vec{ВА}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{СВ}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{АВ}\) и \(\vec{b} = \vec{АС}\).

1. Выразим вектор \(\vec{ВА}\): \[ \vec{ВА} = -\vec{АВ} = -\vec{a} \]
2. Выразим вектор \(\vec{ВС}\): \[ \vec{ВС} = \vec{ВА} + \vec{АС} = -\vec{a} + \vec{b} \]
3. Выразим вектор \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = -\vec{ВС} = -(-\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} \]

Ответ: а) \(-\vec{а}\); б) \(\vec{b} - \vec{a}\); в) \(\vec{a} - \vec{b}\).

Решение №40594: Для решения задачи найдем координаты векторов по заданным точкам. ### а) \(\vec{АВ} + \vec{a}\), где \(\vec{a} = (0; -2)\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{АВ}\): \[ \vec{АВ} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (0 - (-1), -2 - 4) = (1, -6) \] 2. Сложим векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{a}\): \[ \vec{АВ} + \vec{a} = (1, -6) + (0, -2) = (1 + 0, -6 + (-2)) = (1, -8) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{АВ} + \vec{a}\) равны \((1, -8)\). ### б) \(\vec{ВА} + \vec{АС}\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{ВА}\): \[ \vec{ВА} = (A_x - B_x, A_y - B_y) = (-1 - 0, 4 - (-2)) = (-1, 6) \] 2. Найдем координаты вектора \(\vec{АС}\): \[ \vec{АС} = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (3 - (-1), 5 - 4) = (4, 1) \] 3. Сложим векторы \(\vec{ВА}\) и \(\vec{АС}\): \[ \vec{ВА} + \vec{АС} = (-1, 6) + (4, 1) = (-1 + 4, 6 + 1) = (3, 7) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{ВА} + \vec{АС}\) равны \((3, 7)\). ### в) \(\vec{СВ} + \vec{АВ}\) 1. Найдем координаты вектора \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = (B_x - C_x, B_y - C_y) = (0 - 3, -2 - 5) = (-3, -7) \] 2. Сложим векторы \(\vec{СВ}\) и \(\vec{АВ}\): \[ \vec{СВ} + \vec{АВ} = (-3, -7) + (1, -6) = (-3 + 1, -7 + (-6)) = (-2, -13) \] Таким образом, координаты вектора \(\vec{СВ} + \vec{АВ}\) равны \((-2, -13)\). ### Ответ: а) \((1, -8)\) б) \((3, 7)\) в) \((-2, -13)\)

Ответ: а) \(\vec{(1; -8)}\); б) \(\vec{(3; 7)}\); в) \(\vec{(-2; -13)}\).

Решение №40595: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{СВ} - \vec{СА}\), \(\vec{AВ} - \vec{СB}\) и \(\vec{AC} - \vec{АB}\). 1. **Найдем координаты точки \(B\):** Дано: \(A(0; -1)\) и \(\vec{АВ}(1; 2)\). Поскольку \(\vec{АВ} = B - A\), то: \[ B = A + \vec{АВ} = (0 + 1; -1 + 2) = (1; 1) \] 2. **Найдем координаты вектора \(\vec{СВ} - \vec{СА}\):** Дано: \(C(3; 5)\) и \(B(1; 1)\). Найдем вектор \(\vec{СВ}\): \[ \vec{СВ} = B - C = (1 - 3; 1 - 5) = (-2; -4) \] Найдем вектор \(\vec{СA}\): \[ \vec{СA} = A - C = (0 - 3; -1 - 5) = (-3; -6) \] Найдем \(\vec{СВ} - \vec{СА}\): \[ \vec{СВ} - \vec{СA} = (-2; -4) - (-3; -6) = (-2 + 3; -4 + 6) = (1; 2) \] 3. **Найдем координаты вектора \(\vec{AВ} - \vec{СB}\):** Дано: \(\vec{АВ} = (1; 2)\) и \(\vec{СB} = B - C = (1 - 3; 1 - 5) = (-2; -4)\). Найдем \(\vec{AВ} - \vec{СB}\): \[ \vec{AВ} - \vec{СB} = (1; 2) - (-2; -4) = (1 + 2; 2 + 4) = (3; 6) \] 4. **Найдем координаты вектора \(\vec{AC} - \vec{АB}\):** Дано: \(\vec{AC} = C - A = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)\) и \(\vec{АB} = (1; 2)\). Найдем \(\vec{AC} - \vec{АB}\): \[ \vec{AC} - \vec{АB} = (3; 6) - (1; 2) = (3 - 1; 6 - 2) = (2; 4) \] Таким образом, координаты векторов:

1. \(\vec{СВ} - \vec{СA} = (1; 2)\)
2. \(\vec{AВ} - \vec{СB} = (3; 6)\)
3. \(\vec{AC} - \vec{АB} = (2; 4)\)

Ответ: а) \(\vec{(1; 2)}\); б) \(\vec{(3; 6)}\); в) \(\vec{(2; 4)}\).

Решение №40596: Для решения задачи найдем координаты векторов \(\vec{OA} + \vec{OB}\), \(\vec{AO} - \vec{AB}\) и \(\vec{OA} - \vec{BA}\). Даны точки: - \(O(0; 0)\) - \(A(1; -4)\) - \(B(8; 3)\) Выполним следующие шаги:

1. Найдем векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{AO}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{BA}\): \begin{align*} \vec{OA} &= (1 - 0, -4 - 0) = (1, -4) \\ \vec{OB} &= (8 - 0, 3 - 0) = (8, 3) \\ \vec{AO} &= (0 - 1, 0 - (-4)) = (-1, 4) \\ \vec{AB} &= (8 - 1, 3 - (-4)) = (7, 7) \\ \vec{BA} &= (1 - 8, -4 - 3) = (-7, -7) \end{align*}
2. Найдем вектор \(\vec{OA} + \vec{OB}\): \begin{align*} \vec{OA} + \vec{OB} &= (1, -4) + (8, 3) \\ &= (1 + 8, -4 + 3) \\ &= (9, -1) \end{align*}
3. Найдем вектор \(\vec{AO} - \vec{AB}\): \begin{align*} \vec{AO} - \vec{AB} &= (-1, 4) - (7, 7) \\ &= (-1 - 7, 4 - 7) \\ &= (-8, -3) \end{align*}
4. Найдем вектор \(\vec{OA} - \vec{BA}\): \begin{align*} \vec{OA} - \vec{BA} &= (1, -4) - (-7, -7) \\ &= (1 + 7, -4 + 7) \\ &= (8, 3) \end{align*}

Ответ: а) \(\vec{(9; -1)}\); б) \(\vec{(-8; -3)}\); в) \(\vec{(8; 3)}\).

Решение №40597: Для решения задачи о прямоугольнике \(ABCD\) с \(AB = 3\), \(BC = 4\) и точкой пересечения диагоналей \(O\), выполним следующие шаги:

1. Запишем данные: \[ AB = 3, \quad BC = 4 \]
2. Найдем длины диагоналей: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Определим координаты точек: \[ A(0, 0), \quad B(3, 0), \quad C(3, 4), \quad D(0, 4) \]

1. Найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\): \[ \vec{AB} = (3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 4) \]
2. Сложим векторы: \[ \vec{AB} + \vec{AD} = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) \]
3. Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Найдем координаты точки \(O\) (точка пересечения диагоналей): \[ O\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{2}\right) = O\left(1.5, 2\right) \]
2. Найдем векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{OD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AO} = (1.5, 2), \quad \vec{OD} = \left(0 - 1.5, 4 - 2\right) = (-1.5, 2), \quad \vec{DC} = (3, 0) \]
3. Сложим векторы: \[ \vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC} = (1.5, 2) + (-1.5, 2) + (3, 0) = (1.5 - 1.5 + 3, 2 + 2 + 0) = (3, 4) \]
4. Найдем модуль суммы векторов: \[ |\vec{AO} + \vec{OD} + \vec{DC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

1. Найдем вектор \(\vec{BC}\): \[ \vec{BC} = (0, 4) \]
2. Вычтем векторы: \[ \vec{AO} - \vec{BC} = (1.5, 2) - (0, 4) = (1.5, 2 - 4) = (1.5, -2) \]
3. Найдем модуль разности векторов: \[ |\vec{AO} - \vec{BC}| = \sqrt{1.5^2 + (-2)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \]

Ответ: а) 5; б) 5; в) 2,5.

Решение №40598: Для решения задачи пошагово, выполним следующие действия:

1. Запишем данные задачи:
   • \(АС = 10\)
   • \(ВD = 24\)
   • \(О\) - точка пересечения диагоналей ромба.
2. Определим длины диагоналей ромба:
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • \(AO = CO = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
   • \(BO = DO = \frac{BD}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
3. Найдем \(|\vec{AD} + \vec{DB}|\):
   • Вектор \(\vec{AD} + \vec{DB}\) эквивалентен вектору \(\vec{AB}\).
   • Длина стороны ромба \(AB\) может быть найдена по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
   • Таким образом, \(|\vec{AD} + \vec{DB}| = 13\).
4. Найдем \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}|\):
   • Вектор \(\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}\) эквивалентен вектору \(\vec{AC}\).
   • Длина диагонали \(AC\) равна 10.
   • Таким образом, \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}| = 10\).
5. Найдем \(|\vec{CO} - \vec{BA}|\):
   • Вектор \(\vec{CO} - \vec{BA}\) эквивалентен вектору \(\vec{CO} + \vec{AB}\).
   • Вектор \(\vec{CO} + \vec{AB}\) эквивалентен вектору \(\vec{CB}\).
   • Длина стороны ромба \(CB\) равна \(AB\), которая равна 13.
   • Таким образом, \(|\vec{CO} - \vec{BA}| = 13\).

• а) \(|\vec{AD} + \vec{DB}| = 13\)
• б) \(|\vec{AB} + \vec{BO} + \vec{OC}| = 10\)
• в) \(|\vec{CO} - \vec{BA}| = 13\)

Ответ: а) 13; б) 10; в) 12.

Решение №40599: Для доказательства того, что \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\) в равностороннем треугольнике \(ABC\) с центром \(O\), выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) с центром \(O\).
2. Введем векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\), которые соединяют центр \(O\) с вершинами треугольника.
3. Заметим, что при вращении на \(120^\circ\) вокруг центра \(O\), вектор \(\vec{OA}\) переходит в \(\vec{OB}\), \(\vec{OB}\) переходит в \(\vec{OC}\), а \(\vec{OC}\) переходит в \(\vec{OA}\).
4. Следовательно, векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) образуют равномерное распределение вокруг центра \(O\).
5. Поскольку треугольник равносторонний, все стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\).
6. Теперь рассмотрим сумму векторов \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\).
7. При сложении векторов \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\), каждый вектор компенсирует другой на \(120^\circ\), что приводит к нулевому результату.
8. Таким образом, \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}\).

Ответ: NaN

Решение №40600: Для доказательства того, что в четырехугольнике \(ABCD\) выполняется равенство \(\vec{AC} + \vec{DB} = \vec{AV} - \vec{CD}\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим точки четырехугольника \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\).
2. Запишем векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{DB}\): \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \] \[ \vec{DB} = \vec{B} - \vec{D} \]
3. Запишем векторы \(\vec{AV}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{AV} = \vec{V} - \vec{A} \] \[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} \]
4. Подставим выражения для векторов в исходное уравнение: \[ \vec{AC} + \vec{DB} = (\vec{C} - \vec{A}) + (\vec{B} - \vec{D}) \] \[ \vec{AV} - \vec{CD} = (\vec{V} - \vec{A}) - (\vec{D} - \vec{C}) \]
5. Упростим выражения: \[ \vec{AC} + \vec{DB} = \vec{C} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{D} \] \[ \vec{AV} - \vec{CD} = \vec{V} - \vec{A} - \vec{D} + \vec{C} \]
6. Приравняем левые и правые части уравнений: \[ \vec{C} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{D} = \vec{V} - \vec{A} - \vec{D} + \vec{C} \]
7. Упростим полученное выражение: \[ \vec{C} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{D} = \vec{V} - \vec{A} - \vec{D} + \vec{C} \] \[ \vec{B} = \vec{V} \]
8. Таким образом, доказано, что: \[ \vec{AC} + \vec{DB} = \vec{AV} - \vec{CD} \]

Ответ: NaN

Решение №40601: Для решения задачи о выражении вектора \(\vec{АС}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в параллелограмме \(АВСD\) выполним следующие шаги для каждого из случаев. ### а) \(\vec{a} = \vec{АВ}\), \(\vec{b} = \vec{ВС}\)

1. Запишем вектор \(\vec{АС}\) через векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{ВС}\): \[ \vec{АС} = \vec{АВ} + \vec{ВС} \]
2. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в уравнение: \[ \vec{АС} = \vec{a} + \vec{b} \]

1. Запишем вектор \(\vec{АС}\) через векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{АС} = \vec{AD} + \vec{DC} \]
2. Заметим, что \(\vec{AD} = -\vec{CD}\): \[ \vec{АС} = -\vec{CD} + \vec{DC} \]
3. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в уравнение: \[ \vec{АС} = -\vec{a} + \vec{b} \]

1. Запишем вектор \(\vec{АС}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{АС} = \vec{AB} + \vec{BC} \]
2. Заметим, что \(\vec{BC} = \vec{AD}\): \[ \vec{АС} = \vec{AB} + \vec{AD} \]
3. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в уравнение: \[ \vec{АС} = \vec{a} + \vec{b} \]

Ответ: а) \(\vec{а} + \vec{b}\); б) \(-\vec{a} - \vec{b}\); в) \(\vec{а} - \vec{b}\).

Решение №40602: Для решения задачи выражения вектора \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в двух случаях, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a} = \vec{AD}\), \(\vec{b} = \vec{AВ}\)

1. Запишем, что \(D\) - середина \(BC\), то есть \(\vec{D}\) - это средняя точка отрезка \(BC\).
2. Выразим \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\): \[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} \]
3. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{a} - \vec{b} \]

1. Запишем, что \(D\) - середина \(BC\), то есть \(\vec{D}\) - это средняя точка отрезка \(BC\).
2. Выразим \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{CD}\) и \(\vec{CB}\): \[ \vec{BD} = \vec{CD} - \vec{CB} \]
3. Выразим \(\vec{CD}\) через \(\vec{AD}\): \[ \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} \]
4. Выразим \(\vec{CB}\) через \(\vec{CВ}\): \[ \vec{CB} = -\vec{CВ} \]
5. Подставим \(\vec{CD}\) и \(\vec{CB}\) в выражение для \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = (\vec{AD} - \vec{AC}) - (-\vec{CВ}) \]
6. Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AC} + \vec{CВ} \]
7. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{CВ}\) и \(\vec{AD}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AC} + \vec{a} \]
8. Выразим \(\vec{AC}\) через \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} \]
9. Подставим \(\vec{AC}\) в выражение для \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = \vec{b} - (\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{a} \]
10. Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AD} - \vec{DC} + \vec{a} \]
11. Так как \(D\) - середина \(BC\), то \(\vec{DC} = -\frac{1}{2} \vec{CВ}\): \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{CВ} + \vec{a} \]
12. Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{CВ}\) и \(\vec{AD}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a} \]
13. Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{a} \]

Ответ: а) \(\vec{а} - \vec{b}\); б) \(-\vec{a} - \vec{b}\).

Решение №40603: Для доказательства неравенства треугольника для векторов, которое утверждает, что для любых векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) выполняется неравенство \(|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\), выполним следующие шаги:

1. Запишем неравенство треугольника для векторов: \[ |\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \]
2. Возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку квадратная функция возрастающая для неотрицательных аргументов, неравенство сохранится: \[ |\vec{x} + \vec{y}|^2 \leq (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 \]
3. Раскроем левую часть неравенства, используя определение длины вектора: \[ (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \]
4. Раскроем правую часть неравенства: \[ (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2 \]
5. Теперь неравенство выглядит так: \[ \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2 \]
6. Учитывая, что \(|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}\) и \(|\vec{y}|^2 = \vec{y} \cdot \vec{y}\), запишем неравенство: \[ \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \leq \vec{x} \cdot \vec{x} + 2|\vec{x}||\vec{y}| + \vec{y} \cdot \vec{y} \]
7. Сократим одинаковые члены в обеих частях неравенства: \[ 2 \vec{x} \cdot \vec{y} \leq 2|\vec{x}||\vec{y}| \]
8. Разделим обе части неравенства на 2: \[ \vec{x} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}||\vec{y}| \]
9. Неравенство \(\vec{x} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}||\vec{y}|\) истинно, поскольку скалярное произведение векторов \(\vec{x} \cdot \vec{y}\) всегда меньше или равно произведению их длин.

Ответ: NaN

Решение №40604: Для решения задачи, могут ли быть равной нулевому вектору суммы трех векторов, длины которых равны: а) 1, 2 и 9; б) 3, 5 и 8; в) 3, 4 и 5, выполним следующие шаги:

1. Обозначим векторы как \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) с длинами \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) и \(|\vec{c}|\) соответственно. Для того чтобы сумма векторов была равна нулевому вектору, необходимо, чтобы: \[ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \]
2. Известно, что сумма трех векторов равна нулю, если они могут быть расположены таким образом, чтобы образовали замкнутый треугольник. Это означает, что длины векторов должны удовлетворять неравенству треугольника: \[ |\vec{a}| + |\vec{b}| > |\vec{c}| \] \[ |\vec{a}| + |\vec{c}| > |\vec{b}| \] \[ |\vec{b}| + |\vec{c}| > |\vec{a}| \]
3. Проверим условия для каждого набора длин векторов:
   1. Длины векторов: 1, 2 и 9. \[ 1 + 2 = 3 \quad \text{и} \quad 3 < 9 \] \[ 1 + 9 = 10 \quad \text{и} \quad 10 > 2 \] \[ 2 + 9 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 1 \] Неравенство \(1 + 2 < 9\) не выполняется, следовательно, сумма векторов с длинами 1, 2 и 9 не может быть равна нулевому вектору.
   2. Длины векторов: 3, 5 и 8. \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 = 8 \] \[ 3 + 8 = 11 \quad \text{и} \quad 11 > 5 \] \[ 5 + 8 = 13 \quad \text{и} \quad 13 > 3 \] Неравенство \(3 + 5 = 8\) не выполняется (должно быть строгое неравенство), следовательно, сумма векторов с длинами 3, 5 и 8 не может быть равна нулевому вектору.
   3. Длины векторов: 3, 4 и 5. \[ 3 + 4 = 7 \quad \text{и} \quad 7 > 5 \] \[ 3 + 5 = 8 \quad \text{и} \quad 8 > 4 \] \[ 4 + 5 = 9 \quad \text{и} \quad 9 > 3 \] Все неравенства выполняются, следовательно, сумма векторов с длинами 3, 4 и 5 может быть равна нулевому вектору.

Ответ: а) Нет; б) да; в) да.

Решение №40605: Для доказательства неравенства \(|\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\) для любых неколлинеарных векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) и определения случаев, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\) и \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ |\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}| \]
2. Рассмотрим треугольник, образованный векторами \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) и \(\vec{x} - \vec{y}\). Длина вектора \(\vec{x} - \vec{y}\) равна длине стороны треугольника, противоположной углу между векторами \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).
3. По теореме о неравенстве треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Поэтому: \[ |\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}| \]
4. Теперь рассмотрим случай, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\). Это возможно только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены. В этом случае векторы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, и треугольник вырождается в отрезок.
5. Рассмотрим случай, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\). Это возможно только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и сонаправлены, и при этом \(|\vec{x}| > |\vec{y}|\). В этом случае векторы лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, и треугольник также вырождается в отрезок.

Ответ: NaN