Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 3
Информация о книге не найдена
Условие
Докажите, что для любых неколлинеарных векторов \(\vec{х}\) и \(\vec{у}\) выполняется неравенство \(|\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\). В каком случае \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\)? В каком случае \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\)?
Ответ
NaN
Решение № 40605:
Для доказательства неравенства \(|\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\) для любых неколлинеарных векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) и определения случаев, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\) и \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ |\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}| \] </li> <li>Рассмотрим треугольник, образованный векторами \(\vec{x}\), \(\vec{y}\) и \(\vec{x} - \vec{y}\). Длина вектора \(\vec{x} - \vec{y}\) равна длине стороны треугольника, противоположной углу между векторами \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\).</li> <li>По теореме о неравенстве треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Поэтому: \[ |\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}| \] </li> <li>Теперь рассмотрим случай, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\). Это возможно только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены. В этом случае векторы лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, и треугольник вырождается в отрезок.</li> <li>Рассмотрим случай, когда \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\). Это возможно только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и сонаправлены, и при этом \(|\vec{x}| > |\vec{y}|\). В этом случае векторы лежат на одной прямой и направлены в одну сторону, и треугольник также вырождается в отрезок.</li> </ol> Таким образом, мы доказали, что для любых неколлинеарных векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) выполняется неравенство \(|\vec{x} - \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|\). Также мы определили, что \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| + |\vec{y}|\) тогда и только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и противоположно направлены, и \(|\vec{x} - \vec{y}| = |\vec{x}| - |\vec{y}|\) тогда и только тогда, когда векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) коллинеарны и сонаправлены, и \(|\vec{x}| > |\vec{y}|\).