Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Точки \(М\) и \(N\) - середины сторон \(АВ\) и \(АС\) треугольника \(АВС\). Выразите через векторы \(\vec{a} = \vec{АМ}\) и \(\vec{b} = \vec{AN}\) векторы: а) \(\vec{MB}\); б) \(\vec{CN}\); в) \(\vec{MN}\).

Ответ

а) \(\vec{а}\); б) \(-\vec{b}\); в) \(\vec{b} - \vec{a}\).

Решение № 40592:

Для решения задачи о выражении векторов через \(\vec{a} = \vec{AM}\) и \(\vec{b} = \vec{AN}\) выполним следующие шаги: ### а) Выразим вектор \(\vec{MB}\): <ol> <li>Заметим, что точка \(M\) является серединой стороны \(AB\), поэтому \(\vec{AM} = \vec{a}\).</li> <li>Вектор \(\vec{MB}\) можно выразить через вектор \(\vec{AB}\). Поскольку \(M\) - середина \(AB\), то \(\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}\).</li> <li>Так как \(\vec{MA} = -\vec{AM} = -\vec{a}\), то \(\vec{MB} = -\vec{a} + \vec{AB}\).</li> <li>Поскольку \(M\) - середина \(AB\), то \(\vec{AB} = 2\vec{a}\).</li> <li>Подставим \(\vec{AB}\) в уравнение: \(\vec{MB} = -\vec{a} + 2\vec{a} = \vec{a}\).</li> </ol> Таким образом, \(\vec{MB} = \vec{a}\). ### б) Выразим вектор \(\vec{CN}\): <ol> <li>Заметим, что точка \(N\) является серединой стороны \(AC\), поэтому \(\vec{AN} = \vec{b}\).</li> <li>Вектор \(\vec{CN}\) можно выразить через вектор \(\vec{AC}\). Поскольку \(N\) - середина \(AC\), то \(\vec{CN} = \vec{CA} + \vec{AN}\).</li> <li>Так как \(\vec{CA} = -\vec{AC}\), то \(\vec{CN} = -\vec{AC} + \vec{AN}\).</li> <li>Поскольку \(N\) - середина \(AC\), то \(\vec{AC} = 2\vec{b}\).</li> <li>Подставим \(\vec{AC}\) в уравнение: \(\vec{CN} = -2\vec{b} + \vec{b} = -\vec{b}\).</li> </ol> Таким образом, \(\vec{CN} = -\vec{b}\). ### в) Выразим вектор \(\vec{MN}\): <ol> <li>Вектор \(\vec{MN}\) можно выразить через векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{AN}\).</li> <li>Так как \(\vec{MA} = -\vec{a}\) и \(\vec{AN} = \vec{b}\), то \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}\).</li> <li>Подставим \(\vec{MA}\) и \(\vec{AN}\) в уравнение: \(\vec{MN} = -\vec{a} + \vec{b}\).</li> </ol> Таким образом, \(\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}\). ### Итоговые выражения: - а) \(\vec{MB} = \vec{a}\) - б) \(\vec{CN} = -\vec{b}\) - в) \(\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}\)