Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Отрезок \(BD\) - медиана треугольника \(АВС\). Выразите вектор \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если: а) \(\vec{a} = \vec{АD}\), \(\vec{b} = \vec{AВ}\); б) \(\vec{a} = \vec{CВ}\), \(\vec{b} = \vec{AD}\).

Ответ

а) \(\vec{а} - \vec{b}\); б) \(-\vec{a} - \vec{b}\).

Решение № 40602:

Для решения задачи выражения вектора \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в двух случаях, выполним следующие шаги: ### а) \(\vec{a} = \vec{AD}\), \(\vec{b} = \vec{AВ}\) <ol> <li>Запишем, что \(D\) - середина \(BC\), то есть \(\vec{D}\) - это средняя точка отрезка \(BC\).</li> <li>Выразим \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\): \[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} \] </li> <li>Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{a} - \vec{b} \] </li> </ol> ### б) \(\vec{a} = \vec{CВ}\), \(\vec{b} = \vec{AD}\) <ol> <li>Запишем, что \(D\) - середина \(BC\), то есть \(\vec{D}\) - это средняя точка отрезка \(BC\).</li> <li>Выразим \(\vec{BD}\) через векторы \(\vec{CD}\) и \(\vec{CB}\): \[ \vec{BD} = \vec{CD} - \vec{CB} \] </li> <li>Выразим \(\vec{CD}\) через \(\vec{AD}\): \[ \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} \] </li> <li>Выразим \(\vec{CB}\) через \(\vec{CВ}\): \[ \vec{CB} = -\vec{CВ} \] </li> <li>Подставим \(\vec{CD}\) и \(\vec{CB}\) в выражение для \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = (\vec{AD} - \vec{AC}) - (-\vec{CВ}) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AC} + \vec{CВ} \] </li> <li>Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{CВ}\) и \(\vec{AD}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AC} + \vec{a} \] </li> <li>Выразим \(\vec{AC}\) через \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\): \[ \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} \] </li> <li>Подставим \(\vec{AC}\) в выражение для \(\vec{BD}\): \[ \vec{BD} = \vec{b} - (\vec{AD} + \vec{DC}) + \vec{a} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AD} - \vec{DC} + \vec{a} \] </li> <li>Так как \(D\) - середина \(BC\), то \(\vec{DC} = -\frac{1}{2} \vec{CВ}\): \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{AD} + \frac{1}{2} \vec{CВ} + \vec{a} \] </li> <li>Подставим \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вместо \(\vec{CВ}\) и \(\vec{AD}\) соответственно: \[ \vec{BD} = \vec{b} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{a} \] </li> <li>Упростим выражение: \[ \vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{a} \] </li> </ol> Таким образом, решение задачи: а) \(\vec{BD} = \vec{a} - \vec{b}\) б) \(\vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{a}\)