Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Сложение и вычитание векторов,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

(опорная). Докажите неравенство треугольника для векторов: для любых векторов \(\vec{х}\) и \(\vec{у}\) выполняется неравенство \(|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\).

Ответ

NaN

Решение № 40603:

Для доказательства неравенства треугольника для векторов, которое утверждает, что для любых векторов \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) выполняется неравенство \(|\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}|\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем неравенство треугольника для векторов: \[ |\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \] </li> <li>Возведем обе части неравенства в квадрат. Поскольку квадратная функция возрастающая для неотрицательных аргументов, неравенство сохранится: \[ |\vec{x} + \vec{y}|^2 \leq (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 \] </li> <li>Раскроем левую часть неравенства, используя определение длины вектора: \[ (\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \] </li> <li>Раскроем правую часть неравенства: \[ (|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 = |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2 \] </li> <li>Теперь неравенство выглядит так: \[ \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}|^2 + 2|\vec{x}||\vec{y}| + |\vec{y}|^2 \] </li> <li>Учитывая, что \(|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}\) и \(|\vec{y}|^2 = \vec{y} \cdot \vec{y}\), запишем неравенство: \[ \vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{y} \cdot \vec{y} \leq \vec{x} \cdot \vec{x} + 2|\vec{x}||\vec{y}| + \vec{y} \cdot \vec{y} \] </li> <li>Сократим одинаковые члены в обеих частях неравенства: \[ 2 \vec{x} \cdot \vec{y} \leq 2|\vec{x}||\vec{y}| \] </li> <li>Разделим обе части неравенства на 2: \[ \vec{x} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}||\vec{y}| \] </li> <li>Неравенство \(\vec{x} \cdot \vec{y} \leq |\vec{x}||\vec{y}|\) истинно, поскольку скалярное произведение векторов \(\vec{x} \cdot \vec{y}\) всегда меньше или равно произведению их длин. </li> </ol> Таким образом, мы доказали неравенство треугольника для векторов: \[ |\vec{x} + \vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \] $\boxed$