Решение №9595: Для решения задачи о нахождении среднего роста всех восьмиклассников школы выполним следующие шаги:

1. Запишем данные:
   • В первом классе 30 учеников, их средний рост равен 162 см.
   • Во втором классе 20 учеников, их средний рост равен 157 см.
2. Вычислим общее количество учеников в двух классах: \[ N = 30 + 20 = 50 \]
3. Вычислим общую сумму роста всех учеников первого класса: \[ \text{Сумма роста первого класса} = 30 \cdot 162 = 4860 \text{ см} \]
4. Вычислим общую сумму роста всех учеников второго класса: \[ \text{Сумма роста второго класса} = 20 \cdot 157 = 3140 \text{ см} \]
5. Вычислим общую сумму роста всех учеников: \[ \text{Общая сумма роста} = 4860 + 3140 = 8000 \text{ см} \]
6. Вычислим средний рост всех учеников: \[ \text{Средний рост} = \frac{\text{Общая сумма роста}}{\text{Общее количество учеников}} = \frac{8000}{50} = 160 \text{ см} \]

Ответ: 0

Решение №9681: Для решения задачи о нахождении меньшего угла, который образуется при делении прямого угла в отношении \(5 : 3\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим углы, на которые делится прямой угол, как \(\alpha\) и \(\beta\).
2. Известно, что сумма углов \(\alpha\) и \(\beta\) равна \(90^\circ\): \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
3. Запишем отношение углов: \[ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{5}{3} \]
4. Из отношения углов выразим \(\alpha\) через \(\beta\): \[ \alpha = \frac{5}{3} \beta \]
5. Подставим выражение \(\alpha\) в уравнение суммы углов: \[ \frac{5}{3} \beta + \beta = 90^\circ \]
6. Упростим уравнение: \[ \frac{5}{3} \beta + \beta = \frac{5}{3} \beta + \frac{3}{3} \beta = \frac{8}{3} \beta \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{8}{3} \beta = 90^\circ \]
8. Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{8}\): \[ \beta = 90^\circ \cdot \frac{3}{8} = 33.75^\circ \]
9. Теперь найдем \(\alpha\): \[ \alpha = \frac{5}{3} \beta = \frac{5}{3} \cdot 33.75^\circ = 56.25^\circ \]
10. Меньший угол из \(\alpha\) и \(\beta\) является \(\beta\): \[ \beta = 33.75^\circ \]

Ответ: -1

Решение №9964: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{2} \frac{1}{8} = x\) означает, что \(2^x = \frac{1}{8}\).
3. Представим \(\frac{1}{8}\) в виде степени двойки: \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\).
4. Получаем уравнение: \(2^x = 2^{-3}\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = -3\).
6. Таким образом, \(\log_{2} \frac{1}{8} = -3\).

Ответ: -3

Решение №10989: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{2} 2 = x$ означает, что $2^x = 2$.
3. Представим $2$ в виде степени двойки: $2 = 2^1$.
4. Получаем уравнение: $2^x = 2^1$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 1$.
6. Таким образом, $\log_{2} 2 = 1$.

Ответ: 1

Решение №11642: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: $log_{3}27$' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{3} 27 = x$ означает, что $3^x = 27$.
3. Представим $27$ в виде степени тройки: $27 = 3^3$.
4. Получаем уравнение: $3^x = 3^3$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 3$.
6. Таким образом, $\log_{3} 27 = 3$.

Ответ: 3

Решение №11888: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{3} 81 = x$ означает, что $3^x = 81$.
3. Представим $81$ в виде степени тройки: $81 = 3^4$.
4. Получаем уравнение: $3^x = 3^4$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 4$.
6. Таким образом, $\log_{3} 81 = 4$.

Ответ: 4

Решение №12240: Конечно, давайте решим задачу пошагово: Вычислите: \( \log_{3}\frac{1}{9} \)

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{3} \frac{1}{9} = x \) означает, что \( 3^x = \frac{1}{9} \).
3. Представим \( \frac{1}{9} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{9} = 3^{-2} \).
4. Получаем уравнение: \( 3^x = 3^{-2} \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = -2 \).
6. Таким образом, \( \log_{3} \frac{1}{9} = -2 \).

Ответ: -2

Решение №12710: Пошаговое решение задачи: \( log_{3} \frac{1}{3} \)

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{3} \frac{1}{3} = x \) означает, что \( 3^x = \frac{1}{3} \).
3. Представим \( \frac{1}{3} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \).
4. Получаем уравнение: \( 3^x = 3^{-1} \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = -1 \).
6. Таким образом, \( \log_{3} \frac{1}{3} = -1 \).

Ответ: -1

Решение №12766: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}\)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{32}\).
3. Представим \(\frac{1}{32}\) в виде степени \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5\).
4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^5\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 5\).
6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5\).

Ответ: 5

Решение №12971: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{\frac{1}{2}} 4 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{\frac{1}{2}} 4 = x \) означает, что \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 \).
3. Представим 4 в виде степени двойки: \( 4 = 2^2 \).
4. Перепишем уравнение: \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^2 \).
5. Заметим, что \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), следовательно, \( \left(2^{-1}\right)^x = 2^2 \).
6. Приравняем показатели степени: \( -x = 2 \).
7. Решим уравнение: \( x = -2 \).
8. Таким образом, \( \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 \).

Ответ: -2

Решение №13091: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{0.5} 0.125 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{0.5} 0.125 = x \) означает, что \( 0.5^x = 0.125 \).
3. Представим \( 0.5 \) и \( 0.125 \) в виде степеней двойки: \( 0.5 = 2^{-1} \) и \( 0.125 = 2^{-3} \).
4. Получаем уравнение: \( (2^{-1})^x = 2^{-3} \).
5. Упростим уравнение: \( 2^{-x} = 2^{-3} \).
6. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( -x = -3 \).
7. Решим уравнение: \( x = 3 \).
8. Таким образом, \( \log_{0.5} 0.125 = 3 \).

Ответ: 3

Решение №13141: Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{\frac{1}{5}} 125 \) выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{\frac{1}{5}} 125 = x \) означает, что \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 125 \).
3. Представим 125 в виде степени 5: \( 125 = 5^3 \).
4. Заметим, что \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \).
5. Подставим эти значения в уравнение: \( \left( 5^{-1} \right)^x = 5^3 \).
6. Используем свойство степеней: \( 5^{-x} = 5^3 \).
7. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( -x = 3 \).
8. Решим уравнение для \( x \): \( x = -3 \).
9. Таким образом, \( \log_{\frac{1}{5}} 125 = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14010: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списка:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} = x$ означает, что $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}$.
3. Представим $\frac{9}{4}$ в виде степени $\frac{2}{3}$: $\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
4. Получаем уравнение: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = -2$.
6. Таким образом, $\log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} = -2$.

Ответ: -2

Решение №14067: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(log_{4}2 + log_{4}8\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(log_{a}{b} + log_{a}{c} = log_{a}{b \cdot c}\).
2. Применим это свойство к нашему выражению: \(log_{4}2 + log_{4}8 = log_{4}{2 \cdot 8}\).
3. Упростим произведение: \(2 \cdot 8 = 16\).
4. Получаем выражение: \(log_{4}16\).
5. Вспомним, что \(16 = 4^2\), следовательно, \(log_{4}16 = log_{4}{4^2}\).
6. Применим свойство логарифмов: \(log_{a}{a^b} = b\).
7. Таким образом, \(log_{4}{4^2} = 2\).
8. Итак, \(log_{4}2 + log_{4}8 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14381: Конечно, давайте решим задачу Вычислите: \( \log_{2}16 \) пошагово.

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{2} 16 = x \) означает, что \( 2^x = 16 \).
3. Представим 16 в виде степени двойки: \( 16 = 2^4 \).
4. Получаем уравнение: \( 2^x = 2^4 \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = 4 \).
6. Таким образом, \( \log_{2} 16 = 4 \).

Ответ: 4

Решение №14501: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{2}64\)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{2} 64 = x\) означает, что \(2^x = 64\).
3. Представим 64 в виде степени двойки: \(64 = 2^6\).
4. Получаем уравнение: \(2^x = 2^6\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 6\).
6. Таким образом, \(\log_{2} 64 = 6\).

Ответ: 6

Решение №14508: Конечно, давайте решим задачу \( \log_{3}2 - \log_{3}54 \) пошагово, выделяя список в HTML тэги.

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к нашему выражению: \( \log_{3}2 - \log_{3}54 = \log_{3}{\frac{2}{54}} \).
3. Упростим дробь: \( \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{3}{\frac{1}{27}} \).
5. Представим \( \frac{1}{27} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \).
6. Получаем уравнение: \( \log_{3}{3^{-3}} \).
7. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
8. Таким образом, \( \log_{3}{3^{-3}} = -3 \).
9. Итак, \( \log_{3}2 - \log_{3}54 = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14509: Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \) выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} \).
2. Применим это свойство к первому члену выражения: \( \log_{2}\sqrt{3} = \log_{2}{3^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \).
4. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
5. Применим это свойство: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) \).
6. Упростим выражение внутри скобок: \( \log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{\frac{3}{\frac{4}{3}}} \).
7. Упростим дробь: \( \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} \).
8. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} \).
9. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{\frac{b}{c}} = \log_{a}{b} - \log_{a}{c} \).
10. Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = \log_{2}{9} - \log_{2}{4} \).
11. Вспомним, что \( 9 = 3^2 \) и \( 4 = 2^2 \), следовательно, \( \log_{2}{9} = \log_{2}{3^2} = 2\log_{2}{3} \) и \( \log_{2}{4} = \log_{2}{2^2} = 2 \).
12. Подставим эти значения: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = 2\log_{2}{3} - 2 \).
13. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) \).
14. Упростим выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \).
15. Итак, \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{3} - 1 \).

Ответ: 1

Решение №14510: Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML тэги:

1. Вспомним свойство логарифмов: $\log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}}$.
2. Применим это свойство к нашему выражению: $\log_{5}{175} - \log_{5}{7} = \log_{5}{\frac{175}{7}}$.
3. Упростим дробь: $\frac{175}{7} = 25$.
4. Теперь у нас есть выражение: $\log_{5}{25}$.
5. Вспомним, что $25 = 5^2$, следовательно, $\log_{5}{25} = \log_{5}{5^2}$.
6. Применим свойство логарифмов: $\log_{a}{a^b} = b$.
7. Таким образом, $\log_{5}{5^2} = 2$.
8. Итак, $\log_{5}{175} - \log_{5}{7} = 2$.

Ответ: 2

Решение №14511: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списка. Пошаговое решение задачи: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} \)

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 = \log_{5}{\frac{8}{2}} \).
3. Упростим дробь: \( \log_{5}{\frac{8}{2}} = \log_{5}{4} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} \).
5. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \).
6. Применим это свойство: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} = \log_{5}{4 \cdot \frac{25}{4}} \).
7. Упростим произведение: \( 4 \cdot \frac{25}{4} = 25 \).
8. Получаем выражение: \( \log_{5}{25} \).
9. Вспомним, что \( 25 = 5^2 \), следовательно, \( \log_{5}{25} = \log_{5}{5^2} \).
10. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
11. Таким образом, \( \log_{5}{5^2} = 2 \).
12. Итак, \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} = 2 \).

Ответ: 2

Решение №14512: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{3}8 + 3\log_{3}\frac{9}{2}\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(a \log_{b} c = \log_{b} c^a\).
2. Применим это свойство к второму члену выражения: \(3 \log_{3} \frac{9}{2} = \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).
3. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).
4. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)\).
5. Применим это свойство: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_{3} \left(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3\right)\).
6. Упростим произведение: \(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3 = 8 \cdot \frac{729}{8} = 729\).
7. Получаем выражение: \(\log_{3} 729\).
8. Вспомним, что \(729 = 3^6\), следовательно, \(\log_{3} 729 = \log_{3} 3^6\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{3} 3^6 = 6\).
11. Итак, \(\log_{3} 8 + 3 \log_{3} \frac{9}{2} = 6\).

Ответ: 6

Решение №14513: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(log_{7}196 - 2log_{7}2\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(a \log_{b} c = \log_{b} c^a\).
2. Применим это свойство к второму члену выражения: \(2 \log_{7} 2 = \log_{7} 2^2 = \log_{7} 4\).
3. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{7} 196 - \log_{7} 4\).
4. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \(\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}\).
5. Применим это свойство: \(\log_{7} 196 - \log_{7} 4 = \log_{7} \frac{196}{4}\).
6. Упростим дробь: \(\frac{196}{4} = 49\).
7. Получаем выражение: \(\log_{7} 49\).
8. Вспомним, что \(49 = 7^2\), следовательно, \(\log_{7} 49 = \log_{7} 7^2\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{7} 7^2 = 2\).
11. Итак, \(\log_{7} 196 - 2 \log_{7} 2 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14514: Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML теги.

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} = \log_{2}{\frac{5}{35}} \).
3. Упростим дробь: \( \log_{2}{\frac{5}{35}} = \log_{2}{\frac{1}{7}} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} \).
5. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \).
6. Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\left(\frac{1}{7} \cdot 56\right)} \).
7. Упростим произведение: \( \frac{1}{7} \cdot 56 = 8 \).
8. Получаем выражение: \( \log_{2}{8} \).
9. Вспомним, что \( 8 = 2^3 \), следовательно, \( \log_{2}{8} = \log_{2}{2^3} \).
10. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
11. Таким образом, \( \log_{2}{2^3} = 3 \).
12. Итак, \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} + \log_{2}{56} = 3 \).

Ответ: 3

Решение №14515: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{2} \log_{5} \sqrt[8]{5} \)' выглядит так:

1. Начнем с внутреннего выражения: \( \sqrt[8]{5} \).
2. Перепишем корневое выражение в виде степени: \( \sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}} \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} \).
4. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a} a^{b} = b \).
5. Получаем: \( \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8} \).
6. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2} \frac{1}{8} \).
7. Представим \( \frac{1}{8} \) в виде степени двойки: \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \).
8. Получаем уравнение: \( \log_{2} 2^{-3} \).
9. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a} a^{b} = b \).
10. Получаем: \( \log_{2} 2^{-3} = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14516: Пошаговое решение задачи Вычислите: \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\) выглядит так:

1. Начнем с внутреннего логарифма: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\).
2. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
3. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\).
4. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
5. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
6. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\).
7. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\).
8. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} 3\).
9. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
10. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = y\) означает, что \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = 3\).
11. Представим \(3\) в виде степени \(\frac{2}{3}\): \(3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
12. Получаем уравнение: \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
13. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(y = -1\).
14. Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\).

Ответ: 1

Решение №14517: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{\frac{1}{3}} \log_{3} 27 = x$ означает, что $(\frac{1}{3})^x = \log_{3} 27$.
3. Вычислим $\log_{3} 27$: $27 = 3^3$, следовательно, $\log_{3} 27 = 3$.
4. Теперь у нас есть уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 3$.
5. Представим $3$ в виде степени $\frac{1}{3}$: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.
6. Получаем уравнение: $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-1}$.
7. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = -1$.
8. Таким образом, $\log_{\frac{1}{3}} \log_{3} 27 = -1$.

Ответ: -1

Решение №14518: Для решения задачи \( \log_{\frac{2}{3}} \log_{343} 49 \) выполним следующие шаги:

1. Сначала вычислим внутренний логарифм: \(\log_{343} 49\).
2. Заметим, что \(343 = 7^3\) и \(49 = 7^2\).
3. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b}\).
4. Подставим значения: \(\log_{7^3} 7^2 = \frac{2}{3}\).
5. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3}\).
6. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a = 1\).
7. Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} = 1\).

Ответ: 1

Решение №14519: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Начнем с выражения: $log_{4}log_{3}\sqrt{81}$.
2. Сначала упростим внутренний логарифм: $log_{3}\sqrt{81}$.
3. Представим $\sqrt{81}$ в виде степени: $\sqrt{81} = 81^{1/2} = (3^4)^{1/2} = 3^2$.
4. Теперь у нас есть выражение: $log_{3}3^2$.
5. Применим свойство логарифмов: $log_{a}{a^b} = b$.
6. Таким образом, $log_{3}3^2 = 2$.
7. Теперь у нас есть выражение: $log_{4}2$.
8. Представим $2$ в виде степени с основанием $4$: $2 = 4^{1/2}$.
9. Теперь у нас есть выражение: $log_{4}4^{1/2}$.
10. Применим свойство логарифмов: $log_{a}{a^b} = b$.
11. Таким образом, $log_{4}4^{1/2} = 1/2$.
12. Итак, $log_{4}log_{3}\sqrt{81} = 1/2$.

Ответ: 0.5

Решение №14520: Конечно, давайте решим задачу пошагово: 1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). 2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\). 3. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\). 6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\). Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\). 7. Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). 8. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\). 9. Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\). Итак, \(\log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 2\). Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2 \]

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\).
3. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\).
6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\).
7. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\).
8. Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14521: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{2} \log_{\sqrt{7}} 49 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Найдем \( \log_{\sqrt{7}} 49 \):
   • Заметим, что \( 49 = 7^2 \).
   • Представим \( 49 \) в виде степени \( \sqrt{7} \): \( 49 = (\sqrt{7})^4 \).
   • Таким образом, \( \log_{\sqrt{7}} 49 = 4 \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2} 4 \).
4. Вспомним, что \( 4 = 2^2 \).
5. Таким образом, \( \log_{2} 4 = \log_{2} 2^2 = 2 \).

Ответ: 2