№14516

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_{2}5-log_{2}35+log_{2}56\)

Ответ

3

Решение № 14514:

Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML теги. <ol> <li> Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \). </li> <li> Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} = \log_{2}{\frac{5}{35}} \). </li> <li> Упростим дробь: \( \log_{2}{\frac{5}{35}} = \log_{2}{\frac{1}{7}} \). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} \). </li> <li> Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \). </li> <li> Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\left(\frac{1}{7} \cdot 56\right)} \). </li> <li> Упростим произведение: \( \frac{1}{7} \cdot 56 = 8 \). </li> <li> Получаем выражение: \( \log_{2}{8} \). </li> <li> Вспомним, что \( 8 = 2^3 \), следовательно, \( \log_{2}{8} = \log_{2}{2^3} \). </li> <li> Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \). </li> <li> Таким образом, \( \log_{2}{2^3} = 3 \). </li> <li> Итак, \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} + \log_{2}{56} = 3 \). </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{2}{5} - \log_{2}{35} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\frac{5}{35}} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\left(\frac{1}{7} \cdot 56\right)} = \log_{2}{8} = \log_{2}{2^3} = 3 \]