№14513

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_{5}8-log_{5}2+log{5}\frac{25}{4}\)

Ответ

2

Решение № 14511:

Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списка. Пошаговое решение задачи: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} \) <ol> <li> Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \). </li> <li> Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 = \log_{5}{\frac{8}{2}} \). </li> <li> Упростим дробь: \( \log_{5}{\frac{8}{2}} = \log_{5}{4} \). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} \). </li> <li> Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \). </li> <li> Применим это свойство: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} = \log_{5}{4 \cdot \frac{25}{4}} \). </li> <li> Упростим произведение: \( 4 \cdot \frac{25}{4} = 25 \). </li> <li> Получаем выражение: \( \log_{5}{25} \). </li> <li> Вспомним, что \( 25 = 5^2 \), следовательно, \( \log_{5}{25} = \log_{5}{5^2} \). </li> <li> Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \). </li> <li> Таким образом, \( \log_{5}{5^2} = 2 \). </li> <li> Итак, \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} = 2 \). </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} = \log_{5}{\frac{8}{2}} + \log_{5}\frac{25}{4} = \log_{5}{4} + \log_{5}\frac{25}{4} = \log_{5}{4 \cdot \frac{25}{4}} = \log_{5}{25} = \log_{5}{5^2} = 2 \)