Экзамены с этой задачей: Единый государственный экзамен (ЕГЭ) математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых логарифмических выражений Государственные экзамены

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

вычислите: \(log_\frac{2}{3}log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125}\)

Ответ

1

Решение № 14516:

Пошаговое решение задачи Вычислите: \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\) выглядит так:

1. Начнем с внутреннего логарифма: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\).
2. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
3. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\).
4. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
5. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
6. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\).
7. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\).
8. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} 3\).
9. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
10. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = y\) означает, что \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = 3\).
11. Представим \(3\) в виде степени \(\frac{2}{3}\): \(3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
12. Получаем уравнение: \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
13. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(y = -1\).
14. Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\).

Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\]