№14518

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_\frac{2}{3}log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125}\)

Ответ

1

Решение № 14516:

Пошаговое решение задачи Вычислите: \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\) выглядит так: <ol> <li> Начнем с внутреннего логарифма: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\). </li> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). </li> <li> Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\). </li> <li> Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). </li> <li> Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). </li> <li> Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\). </li> <li> Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} 3\). </li> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). </li> <li> Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = y\) означает, что \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = 3\). </li> <li> Представим \(3\) в виде степени \(\frac{2}{3}\): \(3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\). </li> <li> Получаем уравнение: \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\). </li> <li> Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(y = -1\). </li> <li> Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\). </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\]