Решение №13573: Для решения задачи \( \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} \) выполним следующие шаги:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \sqrt[3]{2}\).
3. Представим \(\sqrt[3]{2}\) в виде степени двойки: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\).
4. Представим \(\frac{1}{2}\) в виде степени двойки: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\).
5. Подставим эти значения в уравнение: \(\left(2^{-1}\right)^x = 2^{\frac{1}{3}}\).
6. Упростим левую часть уравнения: \(2^{-x} = 2^{\frac{1}{3}}\).
7. Так как основания одинаковы, приравняем показатели степени: \(-x = \frac{1}{3}\).
8. Решим уравнение для \(x\): \(x = -\frac{1}{3}\).
9. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}\).

Ответ: -\frac{1}{3}

Решение №14010: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списка:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} = x$ означает, что $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}$.
3. Представим $\frac{9}{4}$ в виде степени $\frac{2}{3}$: $\frac{9}{4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
4. Получаем уравнение: $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = -2$.
6. Таким образом, $\log_{\frac{2}{3}} \frac{9}{4} = -2$.

Ответ: -2

Решение №14067: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(log_{4}2 + log_{4}8\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(log_{a}{b} + log_{a}{c} = log_{a}{b \cdot c}\).
2. Применим это свойство к нашему выражению: \(log_{4}2 + log_{4}8 = log_{4}{2 \cdot 8}\).
3. Упростим произведение: \(2 \cdot 8 = 16\).
4. Получаем выражение: \(log_{4}16\).
5. Вспомним, что \(16 = 4^2\), следовательно, \(log_{4}16 = log_{4}{4^2}\).
6. Применим свойство логарифмов: \(log_{a}{a^b} = b\).
7. Таким образом, \(log_{4}{4^2} = 2\).
8. Итак, \(log_{4}2 + log_{4}8 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14508: Конечно, давайте решим задачу \( \log_{3}2 - \log_{3}54 \) пошагово, выделяя список в HTML тэги.

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к нашему выражению: \( \log_{3}2 - \log_{3}54 = \log_{3}{\frac{2}{54}} \).
3. Упростим дробь: \( \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{3}{\frac{1}{27}} \).
5. Представим \( \frac{1}{27} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \).
6. Получаем уравнение: \( \log_{3}{3^{-3}} \).
7. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
8. Таким образом, \( \log_{3}{3^{-3}} = -3 \).
9. Итак, \( \log_{3}2 - \log_{3}54 = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14509: Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \) выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} \).
2. Применим это свойство к первому члену выражения: \( \log_{2}\sqrt{3} = \log_{2}{3^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \).
4. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
5. Применим это свойство: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) \).
6. Упростим выражение внутри скобок: \( \log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{\frac{3}{\frac{4}{3}}} \).
7. Упростим дробь: \( \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} \).
8. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} \).
9. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{\frac{b}{c}} = \log_{a}{b} - \log_{a}{c} \).
10. Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = \log_{2}{9} - \log_{2}{4} \).
11. Вспомним, что \( 9 = 3^2 \) и \( 4 = 2^2 \), следовательно, \( \log_{2}{9} = \log_{2}{3^2} = 2\log_{2}{3} \) и \( \log_{2}{4} = \log_{2}{2^2} = 2 \).
12. Подставим эти значения: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = 2\log_{2}{3} - 2 \).
13. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) \).
14. Упростим выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \).
15. Итак, \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{3} - 1 \).

Ответ: 1

Решение №14510: Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML тэги:

1. Вспомним свойство логарифмов: $\log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}}$.
2. Применим это свойство к нашему выражению: $\log_{5}{175} - \log_{5}{7} = \log_{5}{\frac{175}{7}}$.
3. Упростим дробь: $\frac{175}{7} = 25$.
4. Теперь у нас есть выражение: $\log_{5}{25}$.
5. Вспомним, что $25 = 5^2$, следовательно, $\log_{5}{25} = \log_{5}{5^2}$.
6. Применим свойство логарифмов: $\log_{a}{a^b} = b$.
7. Таким образом, $\log_{5}{5^2} = 2$.
8. Итак, $\log_{5}{175} - \log_{5}{7} = 2$.

Ответ: 2

Решение №14511: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-теги для списка. Пошаговое решение задачи: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} \)

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{5}8 - \log_{5}2 = \log_{5}{\frac{8}{2}} \).
3. Упростим дробь: \( \log_{5}{\frac{8}{2}} = \log_{5}{4} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} \).
5. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \).
6. Применим это свойство: \( \log_{5}{4} + \log_{5}{\frac{25}{4}} = \log_{5}{4 \cdot \frac{25}{4}} \).
7. Упростим произведение: \( 4 \cdot \frac{25}{4} = 25 \).
8. Получаем выражение: \( \log_{5}{25} \).
9. Вспомним, что \( 25 = 5^2 \), следовательно, \( \log_{5}{25} = \log_{5}{5^2} \).
10. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
11. Таким образом, \( \log_{5}{5^2} = 2 \).
12. Итак, \( \log_{5}8 - \log_{5}2 + \log_{5}\frac{25}{4} = 2 \).

Ответ: 2

Решение №14512: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{3}8 + 3\log_{3}\frac{9}{2}\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(a \log_{b} c = \log_{b} c^a\).
2. Применим это свойство к второму члену выражения: \(3 \log_{3} \frac{9}{2} = \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).
3. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).
4. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)\).
5. Применим это свойство: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_{3} \left(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3\right)\).
6. Упростим произведение: \(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3 = 8 \cdot \frac{729}{8} = 729\).
7. Получаем выражение: \(\log_{3} 729\).
8. Вспомним, что \(729 = 3^6\), следовательно, \(\log_{3} 729 = \log_{3} 3^6\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{3} 3^6 = 6\).
11. Итак, \(\log_{3} 8 + 3 \log_{3} \frac{9}{2} = 6\).

Ответ: 6

Решение №14513: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(log_{7}196 - 2log_{7}2\)' выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \(a \log_{b} c = \log_{b} c^a\).
2. Применим это свойство к второму члену выражения: \(2 \log_{7} 2 = \log_{7} 2^2 = \log_{7} 4\).
3. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{7} 196 - \log_{7} 4\).
4. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \(\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}\).
5. Применим это свойство: \(\log_{7} 196 - \log_{7} 4 = \log_{7} \frac{196}{4}\).
6. Упростим дробь: \(\frac{196}{4} = 49\).
7. Получаем выражение: \(\log_{7} 49\).
8. Вспомним, что \(49 = 7^2\), следовательно, \(\log_{7} 49 = \log_{7} 7^2\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{7} 7^2 = 2\).
11. Итак, \(\log_{7} 196 - 2 \log_{7} 2 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14514: Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML теги.

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
2. Применим это свойство к первым двум членам выражения: \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} = \log_{2}{\frac{5}{35}} \).
3. Упростим дробь: \( \log_{2}{\frac{5}{35}} = \log_{2}{\frac{1}{7}} \).
4. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} \).
5. Вспомним еще одно свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} + \log_{a}{c} = \log_{a}{b \cdot c} \).
6. Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{1}{7}} + \log_{2}{56} = \log_{2}{\left(\frac{1}{7} \cdot 56\right)} \).
7. Упростим произведение: \( \frac{1}{7} \cdot 56 = 8 \).
8. Получаем выражение: \( \log_{2}{8} \).
9. Вспомним, что \( 8 = 2^3 \), следовательно, \( \log_{2}{8} = \log_{2}{2^3} \).
10. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a}{a^b} = b \).
11. Таким образом, \( \log_{2}{2^3} = 3 \).
12. Итак, \( \log_{2}{5} - \log_{2}{35} + \log_{2}{56} = 3 \).

Ответ: 3

Решение №14515: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{2} \log_{5} \sqrt[8]{5} \)' выглядит так:

1. Начнем с внутреннего выражения: \( \sqrt[8]{5} \).
2. Перепишем корневое выражение в виде степени: \( \sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}} \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} \).
4. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a} a^{b} = b \).
5. Получаем: \( \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8} \).
6. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2} \frac{1}{8} \).
7. Представим \( \frac{1}{8} \) в виде степени двойки: \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \).
8. Получаем уравнение: \( \log_{2} 2^{-3} \).
9. Применим свойство логарифмов: \( \log_{a} a^{b} = b \).
10. Получаем: \( \log_{2} 2^{-3} = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14516: Пошаговое решение задачи Вычислите: \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\) выглядит так:

1. Начнем с внутреннего логарифма: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}\).
2. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
3. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\).
4. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
5. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
6. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\).
7. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\).
8. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} 3\).
9. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
10. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = y\) означает, что \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = 3\).
11. Представим \(3\) в виде степени \(\frac{2}{3}\): \(3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
12. Получаем уравнение: \(\left(\frac{2}{3}\right)^y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
13. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(y = -1\).
14. Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} 3 = -1\).

Ответ: 1

Решение №14517: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{\frac{1}{3}} \log_{3} 27 = x$ означает, что $(\frac{1}{3})^x = \log_{3} 27$.
3. Вычислим $\log_{3} 27$: $27 = 3^3$, следовательно, $\log_{3} 27 = 3$.
4. Теперь у нас есть уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 3$.
5. Представим $3$ в виде степени $\frac{1}{3}$: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.
6. Получаем уравнение: $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-1}$.
7. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = -1$.
8. Таким образом, $\log_{\frac{1}{3}} \log_{3} 27 = -1$.

Ответ: -1

Решение №14518: Для решения задачи \( \log_{\frac{2}{3}} \log_{343} 49 \) выполним следующие шаги:

1. Сначала вычислим внутренний логарифм: \(\log_{343} 49\).
2. Заметим, что \(343 = 7^3\) и \(49 = 7^2\).
3. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a^b} c^d = \frac{d}{b}\).
4. Подставим значения: \(\log_{7^3} 7^2 = \frac{2}{3}\).
5. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3}\).
6. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a = 1\).
7. Таким образом, \(\log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} = 1\).

Ответ: 1

Решение №14519: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Начнем с выражения: $log_{4}log_{3}\sqrt{81}$.
2. Сначала упростим внутренний логарифм: $log_{3}\sqrt{81}$.
3. Представим $\sqrt{81}$ в виде степени: $\sqrt{81} = 81^{1/2} = (3^4)^{1/2} = 3^2$.
4. Теперь у нас есть выражение: $log_{3}3^2$.
5. Применим свойство логарифмов: $log_{a}{a^b} = b$.
6. Таким образом, $log_{3}3^2 = 2$.
7. Теперь у нас есть выражение: $log_{4}2$.
8. Представим $2$ в виде степени с основанием $4$: $2 = 4^{1/2}$.
9. Теперь у нас есть выражение: $log_{4}4^{1/2}$.
10. Применим свойство логарифмов: $log_{a}{a^b} = b$.
11. Таким образом, $log_{4}4^{1/2} = 1/2$.
12. Итак, $log_{4}log_{3}\sqrt{81} = 1/2$.

Ответ: 0.5

Решение №14520: Конечно, давайте решим задачу пошагово: 1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). 2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\). 3. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\). 6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\). Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\). 7. Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). 8. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\). 9. Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\). Итак, \(\log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 2\). Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2 \]

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\).
3. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\).
6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\).
7. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\).
8. Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\).
9. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).
10. Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\).

Ответ: 2

Решение №14521: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{2} \log_{\sqrt{7}} 49 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Найдем \( \log_{\sqrt{7}} 49 \):
   • Заметим, что \( 49 = 7^2 \).
   • Представим \( 49 \) в виде степени \( \sqrt{7} \): \( 49 = (\sqrt{7})^4 \).
   • Таким образом, \( \log_{\sqrt{7}} 49 = 4 \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \log_{2} 4 \).
4. Вспомним, что \( 4 = 2^2 \).
5. Таким образом, \( \log_{2} 4 = \log_{2} 2^2 = 2 \).

Ответ: 2

Решение №14522: Для решения задачи \( \log_{\frac{1}{5}} \log_{2} 32 \) выполним следующие шаги:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Сначала вычислим \(\log_{2} 32\):
   • Мы знаем, что \(32 = 2^5\).
   • Следовательно, \(\log_{2} 32 = 5\).
3. Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\frac{1}{5}} 5\).
4. Применим определение логарифма: \(\log_{\frac{1}{5}} 5 = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = 5\).
5. Представим \(5\) в виде степени \(\frac{1}{5}\):
   • Мы знаем, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5\).
6. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\).
7. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = -1\).
8. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} 5 = -1\).

Ответ: -1

Решение №14523: Пошаговое решение задачи Вычислите: \(0.2^{log_{0.2}11}\) выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( log_{0.2} 11 = x \) означает, что \( 0.2^x = 11 \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( 0.2^{log_{0.2}11} \).
4. Заметим, что по определению логарифма, \( 0.2^{log_{0.2}11} = 11 \).
5. Таким образом, \( 0.2^{log_{0.2}11} = 11 \).

Ответ: 11

Решение №14524: Конечно, давайте решим задачу \(5^{\log_{5}10}\) пошагово, используя HTML-теги для списка.

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{5}10 = x$ означает, что $5^x = 10$.
3. Теперь у нас есть выражение: $5^{\log_{5}10}$.
4. Подставим значение $\log_{5}10 = x$ в выражение: $5^x$.
5. Следовательно, $5^x = 10$.
6. Таким образом, $5^{\log_{5}10} = 10$.

Ответ: 10

Решение №14525: Пошаговое решение задачи Вычислите: \(10^{\log_{10}1}\) выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{10} 1 = x\) означает, что \(10^x = 1\).
3. Вспомним, что \(\log_{10} 1 = 0\), так как \(10^0 = 1\).
4. Таким образом, \(\log_{10} 1 = 0\).
5. Подставим это значение в исходное выражение: \(10^{\log_{10}1} = 10^0\).
6. Вспомним, что \(10^0 = 1\).
7. Таким образом, \(10^{\log_{10}1} = 1\).

Ответ: 1

Решение №14526: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Рассмотрим выражение \(4^{\log_{4}8}\).
2. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a}b = c\) означает, что \(a^c = b\).
3. Применим это определение к \(\log_{4}8\): \(\log_{4}8 = c\) означает, что \(4^c = 8\).
4. Теперь подставим это в исходное выражение: \(4^{\log_{4}8} = 4^c\).
5. Поскольку \(4^c = 8\), то \(4^{\log_{4}8} = 8\).

Ответ: 8

Решение №14527: Конечно, давайте решим задачу \(2^{\log_{2}1}\) пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{2}1 = x$ означает, что $2^x = 1$.
3. Мы знаем, что $2^0 = 1$. Следовательно, $x = 0$.
4. Теперь подставим $x = 0$ в наше выражение: $2^{\log_{2}1} = 2^0$.
5. По определению, $2^0 = 1$.
6. Таким образом, $2^{\log_{2}1} = 1$.

Ответ: 1

Решение №14528: Конечно! Давайте решим задачу \(12^{\log_{12}100}\) пошагово, выделяя список в HTML теги.

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{12} 100 = x\) означает, что \(12^x = 100\).
3. Теперь нам нужно найти значение \(12^{\log_{12}100}\).
4. Подставим \(x = \log_{12} 100\) в выражение: \(12^{\log_{12}100} = 12^x\).
5. По определению логарифма, \(12^x = 100\).
6. Таким образом, \(12^{\log_{12}100} = 100\).

Ответ: 100

Решение №14529: Для решения задачи \(\frac{1}{4}^{\log_{\frac{1}{4}} 6}\) выполним следующие шаги:

1. Вспомним основное свойство логарифмов: если \(a^{\log_a b} = b\).
2. Применим это свойство к нашему выражению: \(\frac{1}{4}^{\log_{\frac{1}{4}} 6}\).
3. Подставим значение логарифма: \(\frac{1}{4}^{\log_{\frac{1}{4}} 6} = 6\).

Ответ: 6

Решение №14530: Для решения задачи \(\frac{3}{16}^{\log_{\frac{3}{16}} \frac{18}{5}}\) выполним следующие шаги:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{3}{16}} \frac{18}{5} = x\) означает, что \(\left(\frac{3}{16}\right)^x = \frac{18}{5}\).
3. Подставим значение \(x\) в исходное выражение: \(\frac{3}{16}^{\log_{\frac{3}{16}} \frac{18}{5}} = \frac{3}{16}^x\).
4. Из предыдущего шага знаем, что \(\left(\frac{3}{16}\right)^x = \frac{18}{5}\).
5. Таким образом, \(\frac{3}{16}^{\log_{\frac{3}{16}} \frac{18}{5}} = \frac{18}{5}\).

Ответ: 3.6

Решение №14531: Конечно, давайте решим задачу пошагово, используя HTML-тэги для списка:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{0.2} 11 = x$ означает, что $0.2^x = 11$.
3. В нашем выражении $(0.2)^{\log_{0.2} 11}$ подставим значение логарифма: $(0.2)^x$.
4. По определению логарифма, $0.2^x = 11$.
5. Таким образом, $(0.2)^{\log_{0.2} 11} = 11$.

Ответ: 11

Решение №14532: Конечно, давайте решим задачу \(\pi^{\log_{\pi} 200}\) пошагово.

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\pi} 200 = x\) означает, что \(\pi^x = 200\).
3. Теперь нам нужно найти значение выражения \(\pi^{\log_{\pi} 200}\).
4. Подставим \(\log_{\pi} 200\) в выражение: \(\pi^{\log_{\pi} 200}\).
5. По определению логарифма, \(\pi^{\log_{\pi} 200} = 200\).
6. Таким образом, \(\pi^{\log_{\pi} 200} = 200\).

Ответ: 200

Решение №14533: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(5^{\log_{5}0.1}\)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{5} 0.1 = x\) означает, что \(5^x = 0.1\).
3. Представим \(0.1\) в виде степени пятерки: \(0.1 = \frac{1}{10} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}\).
4. Получаем уравнение: \(5^x = 5^{-2}\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = -2\).
6. Теперь подставим значение \(x\) в исходное выражение: \(5^{\log_{5}0.1} = 5^{-2}\).
7. Вычислим \(5^{-2}\): \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\).
8. Таким образом, \(5^{\log_{5}0.1} = \frac{1}{25}\).

Ответ: 0.1

Решение №14534: Пошаговое решение задачи Вычислите: \(3^{\log_{3}8} \cdot 5^{\log_{5}\frac{1}{2}}\) выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к первому множителю: \(\log_{3} 8 = x\) означает, что \(3^x = 8\).
3. Представим \(8\) в виде степени тройки: \(8 = 2^3\).
4. Получаем уравнение: \(3^x = 2^3\).
5. Так как основания разные, мы не можем приравнять показатели степени. Однако, мы знаем, что \(3^{\log_{3} 8} = 8\).
6. Теперь применим определение логарифма ко второму множителю: \(\log_{5} \frac{1}{2} = y\) означает, что \(5^y = \frac{1}{2}\).
7. Представим \(\frac{1}{2}\) в виде степени пятерки: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\).
8. Получаем уравнение: \(5^y = 2^{-1}\).
9. Так как основания разные, мы не можем приравнять показатели степени. Однако, мы знаем, что \(5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\).
10. Теперь у нас есть выражение: \(3^{\log_{3} 8} \cdot 5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{2}\).
11. Упростим произведение: \(8 \cdot \frac{1}{2} = 4\).
12. Таким образом, \(3^{\log_{3} 8} \cdot 5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = 4\).

Ответ: 4