№14536

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(3^{log_{3}8}\cdot 5^{log_{5}\frac{1}{2}}\)

Ответ

4

Решение № 14534:

Пошаговое решение задачи Вычислите: \(3^{\log_{3}8} \cdot 5^{\log_{5}\frac{1}{2}}\) выглядит так: <ol> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).</li> <li> Применим это определение к первому множителю: \(\log_{3} 8 = x\) означает, что \(3^x = 8\).</li> <li> Представим \(8\) в виде степени тройки: \(8 = 2^3\).</li> <li> Получаем уравнение: \(3^x = 2^3\).</li> <li> Так как основания разные, мы не можем приравнять показатели степени. Однако, мы знаем, что \(3^{\log_{3} 8} = 8\).</li> <li> Теперь применим определение логарифма ко второму множителю: \(\log_{5} \frac{1}{2} = y\) означает, что \(5^y = \frac{1}{2}\).</li> <li> Представим \(\frac{1}{2}\) в виде степени пятерки: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\).</li> <li> Получаем уравнение: \(5^y = 2^{-1}\).</li> <li> Так как основания разные, мы не можем приравнять показатели степени. Однако, мы знаем, что \(5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(3^{\log_{3} 8} \cdot 5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{2}\).</li> <li> Упростим произведение: \(8 \cdot \frac{1}{2} = 4\).</li> <li> Таким образом, \(3^{\log_{3} 8} \cdot 5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = 4\).</li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[3^{\log_{3} 8} \cdot 5^{\log_{5} \frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]