№13575

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}\)

Ответ

-\frac{1}{3}

Решение № 13573:

Для решения задачи \( \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} \) выполним следующие шаги: <ol> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). </li> <li> Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \sqrt[3]{2}\). </li> <li> Представим \(\sqrt[3]{2}\) в виде степени двойки: \(\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}\). </li> <li> Представим \(\frac{1}{2}\) в виде степени двойки: \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\). </li> <li> Подставим эти значения в уравнение: \(\left(2^{-1}\right)^x = 2^{\frac{1}{3}}\). </li> <li> Упростим левую часть уравнения: \(2^{-x} = 2^{\frac{1}{3}}\). </li> <li> Так как основания одинаковы, приравняем показатели степени: \(-x = \frac{1}{3}\). </li> <li> Решим уравнение для \(x\): \(x = -\frac{1}{3}\). </li> <li> Таким образом, \(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}\). </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = \log_{\frac{1}{2}} 2^{\frac{1}{3}} = \log_{2^{-1}} 2^{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{3} \]