Экзамены с этой задачей: Единый государственный экзамен (ЕГЭ) математика профиль Вычисления и преобразования Преобразования числовых логарифмических выражений Государственные экзамены

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

вычислите: \(log_{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}log_{2}\frac{4}{3}\)

Ответ

1

Решение № 14509:

Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \) выглядит так:

1. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} \).
2. Применим это свойство к первому члену выражения: \( \log_{2}\sqrt{3} = \log_{2}{3^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} \).
3. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \).
4. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \).
5. Применим это свойство: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) \).
6. Упростим выражение внутри скобок: \( \log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{\frac{3}{\frac{4}{3}}} \).
7. Упростим дробь: \( \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} \).
8. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} \).
9. Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{\frac{b}{c}} = \log_{a}{b} - \log_{a}{c} \).
10. Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = \log_{2}{9} - \log_{2}{4} \).
11. Вспомним, что \( 9 = 3^2 \) и \( 4 = 2^2 \), следовательно, \( \log_{2}{9} = \log_{2}{3^2} = 2\log_{2}{3} \) и \( \log_{2}{4} = \log_{2}{2^2} = 2 \).
12. Подставим эти значения: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = 2\log_{2}{3} - 2 \).
13. Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) \).
14. Упростим выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \).
15. Итак, \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{3} - 1 \).

Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \]