№14511

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}log_{2}\frac{4}{3}\)

Ответ

1

Решение № 14509:

Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \) выглядит так: <ol> <li> Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} \). </li> <li> Применим это свойство к первому члену выражения: \( \log_{2}\sqrt{3} = \log_{2}{3^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} \). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} \). </li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{b} - \log_{a}{c} = \log_{a}{\frac{b}{c}} \). </li> <li> Применим это свойство: \( \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) \). </li> <li> Упростим выражение внутри скобок: \( \log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{\frac{3}{\frac{4}{3}}} \). </li> <li> Упростим дробь: \( \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} \). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} \). </li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \( \log_{a}{\frac{b}{c}} = \log_{a}{b} - \log_{a}{c} \). </li> <li> Применим это свойство: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = \log_{2}{9} - \log_{2}{4} \). </li> <li> Вспомним, что \( 9 = 3^2 \) и \( 4 = 2^2 \), следовательно, \( \log_{2}{9} = \log_{2}{3^2} = 2\log_{2}{3} \) и \( \log_{2}{4} = \log_{2}{2^2} = 2 \). </li> <li> Подставим эти значения: \( \log_{2}{\frac{9}{4}} = 2\log_{2}{3} - 2 \). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) \). </li> <li> Упростим выражение: \( \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \). </li> <li> Итак, \( \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \log_{2}{3} - 1 \). </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\log_{2}{3} - \frac{1}{2}\log_{2}\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\log_{2}{3} - \log_{2}\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2}\log_{2}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2}\left(2\log_{2}{3} - 2\right) = \log_{2}{3} - 1 \]