№14514

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_{3}8+3log_{3}\frac{9}{2}\)

Ответ

6

Решение № 14512:

Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{3}8 + 3\log_{3}\frac{9}{2}\)' выглядит так: <ol> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(a \log_{b} c = \log_{b} c^a\).</li> <li> Применим это свойство к второму члену выражения: \(3 \log_{3} \frac{9}{2} = \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).</li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3\).</li> <li> Вспомним еще одно свойство логарифмов: \(\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)\).</li> <li> Применим это свойство: \(\log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_{3} \left(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3\right)\).</li> <li> Упростим произведение: \(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3 = 8 \cdot \frac{729}{8} = 729\).</li> <li> Получаем выражение: \(\log_{3} 729\).</li> <li> Вспомним, что \(729 = 3^6\), следовательно, \(\log_{3} 729 = \log_{3} 3^6\).</li> <li> Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\).</li> <li> Таким образом, \(\log_{3} 3^6 = 6\).</li> <li> Итак, \(\log_{3} 8 + 3 \log_{3} \frac{9}{2} = 6\).</li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \(\log_{3} 8 + 3 \log_{3} \frac{9}{2} = \log_{3} 8 + \log_{3} \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \log_{3} \left(8 \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^3\right) = \log_{3} 729 = \log_{3} 3^6 = 6\).