№14522

Экзамены с этой задачей: Преобразования числовых логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

вычислите: \(log_{\sqrt{3}}log_{\frac{1}{5}}\frac{1}{125}\)

Ответ

2

Решение № 14520:

Конечно, давайте решим задачу пошагово: 1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). 2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\). 3. Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). 5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\). 6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\). Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\). 7. Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). 8. Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\). 9. Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\). Итак, \(\log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 2\). Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \log_{\sqrt{3}} \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2 \] <ol> <li> Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\). </li> <li> Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \frac{1}{125}\). </li> <li> Представим \(\frac{1}{125}\) в виде степени \(\frac{1}{5}\): \(\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). </li> <li> Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^3\). </li> <li> Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 3\). </li> <li> Таким образом, \(\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3\). </li> <li> Теперь у нас есть выражение: \(\log_{\sqrt{3}} 3\). </li> <li> Вспомним, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). </li> <li> Применим свойство логарифмов: \(\log_{a} a^b = b\). </li> <li> Таким образом, \(\log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = 2\). </li> </ol>