Решение №9595: Для решения задачи о нахождении среднего роста всех восьмиклассников школы выполним следующие шаги:

1. Запишем данные:
   • В первом классе 30 учеников, их средний рост равен 162 см.
   • Во втором классе 20 учеников, их средний рост равен 157 см.
2. Вычислим общее количество учеников в двух классах: \[ N = 30 + 20 = 50 \]
3. Вычислим общую сумму роста всех учеников первого класса: \[ \text{Сумма роста первого класса} = 30 \cdot 162 = 4860 \text{ см} \]
4. Вычислим общую сумму роста всех учеников второго класса: \[ \text{Сумма роста второго класса} = 20 \cdot 157 = 3140 \text{ см} \]
5. Вычислим общую сумму роста всех учеников: \[ \text{Общая сумма роста} = 4860 + 3140 = 8000 \text{ см} \]
6. Вычислим средний рост всех учеников: \[ \text{Средний рост} = \frac{\text{Общая сумма роста}}{\text{Общее количество учеников}} = \frac{8000}{50} = 160 \text{ см} \]

Ответ: 0

Решение №9681: Для решения задачи о нахождении меньшего угла, который образуется при делении прямого угла в отношении \(5 : 3\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим углы, на которые делится прямой угол, как \(\alpha\) и \(\beta\).
2. Известно, что сумма углов \(\alpha\) и \(\beta\) равна \(90^\circ\): \[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
3. Запишем отношение углов: \[ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{5}{3} \]
4. Из отношения углов выразим \(\alpha\) через \(\beta\): \[ \alpha = \frac{5}{3} \beta \]
5. Подставим выражение \(\alpha\) в уравнение суммы углов: \[ \frac{5}{3} \beta + \beta = 90^\circ \]
6. Упростим уравнение: \[ \frac{5}{3} \beta + \beta = \frac{5}{3} \beta + \frac{3}{3} \beta = \frac{8}{3} \beta \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{8}{3} \beta = 90^\circ \]
8. Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{8}\): \[ \beta = 90^\circ \cdot \frac{3}{8} = 33.75^\circ \]
9. Теперь найдем \(\alpha\): \[ \alpha = \frac{5}{3} \beta = \frac{5}{3} \cdot 33.75^\circ = 56.25^\circ \]
10. Меньший угол из \(\alpha\) и \(\beta\) является \(\beta\): \[ \beta = 33.75^\circ \]

Ответ: -1

Решение №9964: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{2} \frac{1}{8} = x\) означает, что \(2^x = \frac{1}{8}\).
3. Представим \(\frac{1}{8}\) в виде степени двойки: \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\).
4. Получаем уравнение: \(2^x = 2^{-3}\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = -3\).
6. Таким образом, \(\log_{2} \frac{1}{8} = -3\).

Ответ: -3

Решение №10989: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{2} 2 = x$ означает, что $2^x = 2$.
3. Представим $2$ в виде степени двойки: $2 = 2^1$.
4. Получаем уравнение: $2^x = 2^1$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 1$.
6. Таким образом, $\log_{2} 2 = 1$.

Ответ: 1

Решение №11642: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: $log_{3}27$' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{3} 27 = x$ означает, что $3^x = 27$.
3. Представим $27$ в виде степени тройки: $27 = 3^3$.
4. Получаем уравнение: $3^x = 3^3$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 3$.
6. Таким образом, $\log_{3} 27 = 3$.

Ответ: 3

Решение №11888: Конечно, давайте решим задачу пошагово:

1. Вспомним определение логарифма: $\log_{a} b = c$ означает, что $a^c = b$.
2. Применим это определение к нашему выражению: $\log_{3} 81 = x$ означает, что $3^x = 81$.
3. Представим $81$ в виде степени тройки: $81 = 3^4$.
4. Получаем уравнение: $3^x = 3^4$.
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: $x = 4$.
6. Таким образом, $\log_{3} 81 = 4$.

Ответ: 4

Решение №12240: Конечно, давайте решим задачу пошагово: Вычислите: \( \log_{3}\frac{1}{9} \)

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{3} \frac{1}{9} = x \) означает, что \( 3^x = \frac{1}{9} \).
3. Представим \( \frac{1}{9} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{9} = 3^{-2} \).
4. Получаем уравнение: \( 3^x = 3^{-2} \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = -2 \).
6. Таким образом, \( \log_{3} \frac{1}{9} = -2 \).

Ответ: -2

Решение №12710: Пошаговое решение задачи: \( log_{3} \frac{1}{3} \)

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{3} \frac{1}{3} = x \) означает, что \( 3^x = \frac{1}{3} \).
3. Представим \( \frac{1}{3} \) в виде степени тройки: \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \).
4. Получаем уравнение: \( 3^x = 3^{-1} \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = -1 \).
6. Таким образом, \( \log_{3} \frac{1}{3} = -1 \).

Ответ: -1

Решение №12766: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}\)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = x\) означает, что \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{32}\).
3. Представим \(\frac{1}{32}\) в виде степени \(\frac{1}{2}\): \(\frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5\).
4. Получаем уравнение: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^5\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 5\).
6. Таким образом, \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5\).

Ответ: 5

Решение №12971: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{\frac{1}{2}} 4 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{\frac{1}{2}} 4 = x \) означает, что \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 4 \).
3. Представим 4 в виде степени двойки: \( 4 = 2^2 \).
4. Перепишем уравнение: \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^2 \).
5. Заметим, что \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), следовательно, \( \left(2^{-1}\right)^x = 2^2 \).
6. Приравняем показатели степени: \( -x = 2 \).
7. Решим уравнение: \( x = -2 \).
8. Таким образом, \( \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2 \).

Ответ: -2

Решение №13091: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \( \log_{0.5} 0.125 \)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{0.5} 0.125 = x \) означает, что \( 0.5^x = 0.125 \).
3. Представим \( 0.5 \) и \( 0.125 \) в виде степеней двойки: \( 0.5 = 2^{-1} \) и \( 0.125 = 2^{-3} \).
4. Получаем уравнение: \( (2^{-1})^x = 2^{-3} \).
5. Упростим уравнение: \( 2^{-x} = 2^{-3} \).
6. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( -x = -3 \).
7. Решим уравнение: \( x = 3 \).
8. Таким образом, \( \log_{0.5} 0.125 = 3 \).

Ответ: 3

Решение №13141: Пошаговое решение задачи Вычислите: \( \log_{\frac{1}{5}} 125 \) выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{\frac{1}{5}} 125 = x \) означает, что \( \left( \frac{1}{5} \right)^x = 125 \).
3. Представим 125 в виде степени 5: \( 125 = 5^3 \).
4. Заметим, что \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \).
5. Подставим эти значения в уравнение: \( \left( 5^{-1} \right)^x = 5^3 \).
6. Используем свойство степеней: \( 5^{-x} = 5^3 \).
7. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( -x = 3 \).
8. Решим уравнение для \( x \): \( x = -3 \).
9. Таким образом, \( \log_{\frac{1}{5}} 125 = -3 \).

Ответ: -3

Решение №14381: Конечно, давайте решим задачу Вычислите: \( \log_{2}16 \) пошагово.

1. Вспомним определение логарифма: \( \log_{a} b = c \) означает, что \( a^c = b \).
2. Применим это определение к нашему выражению: \( \log_{2} 16 = x \) означает, что \( 2^x = 16 \).
3. Представим 16 в виде степени двойки: \( 16 = 2^4 \).
4. Получаем уравнение: \( 2^x = 2^4 \).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \( x = 4 \).
6. Таким образом, \( \log_{2} 16 = 4 \).

Ответ: 4

Решение №14501: Пошаговое решение задачи 'Вычислите: \(\log_{2}64\)' выглядит так:

1. Вспомним определение логарифма: \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^c = b\).
2. Применим это определение к нашему выражению: \(\log_{2} 64 = x\) означает, что \(2^x = 64\).
3. Представим 64 в виде степени двойки: \(64 = 2^6\).
4. Получаем уравнение: \(2^x = 2^6\).
5. Так как основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степени: \(x = 6\).
6. Таким образом, \(\log_{2} 64 = 6\).

Ответ: 6