Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38552: Воспользуйтесь тем, что \(ВА_{1} : СА_{1} = СА_{2} : ВА_{2}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38553: По теореме синусов \(\sin {BAA_{1}} : \sin {BA_{1}A} = BA_{1} : BA\) и \(\sin {CAA_{1}} : \sin {CA_{1}A} = CA_{1} : CA\). Кроме того, \(\sin {BA_{1}A} = \sin {CA_{1}A}\). Поэтому \(\frac{\sin{BAA_{1}}}{\sin{CAA_{1}}} = \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{AC}{BC}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38554: Требуется доказать, что \(\frac{\sin {30^\circ}}{\sin {20^\circ}} \cdot \frac{\sin {10^\circ}}{\sin {70^\circ}} \cdot \frac{\sin {40^\circ}}{\sin {10^\circ}} = 1\). Ясно, что \(\sin {30^\circ} sin {40^\circ} = \frac{1}{2}\sin {40^\circ} = \sin {20^\circ} \cos {20^\circ} = \sin {20^\circ} \sin {70^\circ}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38555: Требуется доказать, что \(\frac{\sin {20^\circ}}{\sin {10^\circ}} \cdot \frac{\sin {30^\circ}}{\sin {40^\circ}} \cdot \frac{\sin {30^\circ}}{\sin {50^\circ}} = 1\). Ясно, что \(\sin {10^\circ}\sin {40^\circ}\sin {50^\circ} = \sin {10^\circ}\sin {40^\circ}\cos {40^\circ} = \frac{1}{2}\sin {10^\circ}\sin {80^\circ} = \frac{1}{4}\sin {20^\circ}.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38556: По теореме синусов \(\sin {BAA_{1}} : \sin {BA_{1}A} = BA_{1} : BA\) и \(\sin {CAA_{1}} : \sin {CA_{1}A} = CA_{1} : CA\). Кроме того, \(\sin {BA_{1}A} = \sin {CA_{1}A}\). Поэтому \(\frac{\sin{BAA_{1}}}{\sin{CAA_{1}}} = \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{AC}{BC}\) и \(\sin{BAA_{1}} : \sin CAA_{1} = \sin CAA_{2} : \sin BAA_{2}\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38557: Для определенности считайте, что точки \(А_{1}\) и \(В_{1}\) лежат на продолжениях сторон. Если прямые \(АА_{1}\) и \(ВВ_{1}\) параллельны, то проведите через точку \(С\) параллельную им прямую. Если же эти прямые пересекаются в некоторой точке \(O\), то проведите прямую \(СО\). В обоих случаях проведённая прямая пересекает отрезок \(AB\) (а не его продолжение) в некоторой точке \(С_{2}\). Согласно задаче 22.30 выполняется равенство \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{2}}{BC_{2}} = 1\). Следовательно, \(AC_{1} : BC_{1} = АС_{2} : ВС_{2}\). Точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\) лежат на отрезке \(АВ\), поэтому согласно задаче 22.33 эти точки совпадают, т. е. отрезок \(СС_{1}\) тоже проходит через точку \(О\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38558: Если \(АР : ВР > 1\), то точка \(Р\) лежит на продолжении отрезка \(АВ\) за точку \(В\) и \(\frac{AP}{BP} = \frac{AB + BP}{BP} = 1 + \frac{AB}{BP}\). Если \(АР: ВР < 1\), то точка \(Р\) лежит на продолжении отрезка \(АВ\) за точку \(А\) и \(\frac{BP}{AP} = \frac{AB + AP}{AP} = 1 + \frac{AB}{AP}\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38559: Предположите, что прямая \(А_{1}В_{1}\) параллельна прямой \(АВ\). Тогда \(АС_{1} = ВС_{1}\), поэтому точка \(C_{1}\) - середина отрезка \(АВ\). Но тогда на сторонах треугольника лежат либо три точки, либо одна, что противоречит условию. Поэтому прямая \(А_{1}В_{1}\) пересекает прямую \(АВ\) в некоторой точке \(С_{2}\). Из задачи 22.28 следует, что \(АС_{1} : BC_{1} = AC_{2} : BC_{2}\). Кроме того, точки \(C_{1}\) и \(С_{2}\), либо обе лежат на стороне \(АВ\), либо обе лежат на её продолжении. Воспользовавшись задачами 22.33 и 22.43, получите, что точки \(С_{1}\) и \(С_{2}\) совпадают.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38560: Воспользуйтесь задачей 22.44 и тем, что \(BA_{1} : CA_{1} = BA : СA\) (задачи 17.34 и 17.35).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38561: а) Пусть для определённости \(\angle B < \angle C\). Тогда \(\angle DAE = \angle ADE = \angle B + \frac{\angle A}{2}\), поэтому \(\angle CAE = \angle B\). Далее, \(BE : AB = \sin{BAE} : \sin{AEB}\) и \(AC : CE = \sin{AEC} : \sin{CAE}\). Углы \(АЕВ\) и \(AЕС\) равны, поэтому \(ВЕ : CE = (AB \sin{BAE}) : (AC \sin{CAE}) = (AB \sin {(A + B)}) : (AC\sin{B}) = (AB\sin{C}) : (AC \sin {B}) = AB^2 : AC^2\). б) В задаче а) точка \(Е\) лежит на продолжении стороны \(ВС\), поскольку \(\angle ADC = \angle BAD + \angle B > \angle CAD\). Поэтому все три рассматриваемые точки лежат на продолжениях сторон, и можно воспользоваться результатом задачи 22.44.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38562: Искомая прямая изображена пунктиром на рисунке 248.
Если прямая не проходит через вершины пятиконечной звезды, то три вершины звезды лежат по одну сторону от этой прямой и две из этих вершиц соединены звеном.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38563: а) Возьмите одну из вершин. Вершину, с которой она не соединена звеном, можно выбрать тремя способами. После этого замкнутая ломаная проводится одно-значно. б) У незамкнутой ломаной есть две концевые вершины. Две вершины из четырех можно выбрать шестью способами. Возьмите одну из концевых вершин и соедините её с одной из двух оставшихся вершин. После этого незамкнутая ломаная строится однозначно.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38564: а) Возьмите одну вершину. Чтобы провести из неё звенья, нужно выбрать две вершины из четырёх. Это делается шестью способами. После этого есть два способа построить замкиутую ломаную. б) Две не концевые вершины ломаной из пяти выбираются десятью способами. Затем из них шестью способами проводятся звенья. После этого незамкнутая ломаная строится однозначно.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38565: См. рис. 249.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38566: См. рис. 250.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38567: Звенья ломаной разбиваются на пары, пересекающие друг друга.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38568: См. рис. 252.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38569: См, рис. 253.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38570: См. рис. 254.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38571: Вели все углы выпуклого четырёхуголь-ника острые, то сумма его углов меньше \(360^\circ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38572: Если \(\alpha > \beta + \gamma + \delta\) и \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^/circ\), то \(\alpha > 180^\circ\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38573: Пусть диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\). Если диагонали перпендикулярны, то \(АВ^{2} + CD^{2} = AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} + DP^{2} = AD^{2} + BC^{2}\). Предположите теперь, что \(АВ^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2}. Тогда для точек \(М = В\) и \(M = D\) величина \(АМ^{2} - СМ^{2}\) принимает одно и то же значение, поэтому (задача 16.10) эти точки лежат на прямой, перпендикулярной прямой \(АС\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38574: Пусть \(М\) и \(N\) середины сторон \(АВ\) и \(CD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\), \(Е\) и \(F\) точки пересечения диагоналей \(АС\) и \(BD\) с отрезком \(MN\). Точки \(А\) и \(В\) удалены от прямой \(МN\) на одно и то же расстояние \(h_{1}\), точки \(C\) и \(D\) удалены от прямой \(MN\) на расстояние \(h_{2}\). Поэтому \(AE : EC = h_{1} : h_{2} = BF : FD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38575: Для площади \(S\) выпуклого четырёхугольника выполняются неравенства \(S \leq /frac{ab + cd}{2}\) и \(S \leq \frac{ad+bc}{2}\). Если оба эти неравенства обращаются в равенства, то все углы четырёхугольника прямые.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38576: Для любой пары противоположных сторои выпуклого четы-рёхугольника сумма углов при одной стороне не меньше \(180^\circ\), Поэтому для одной из вершин четырёхугольника сумма углов при обеих сторонах, выходящих из этой вершины, не меньшие \(180^\circ\). Из четырёхугольника можно вырезать параллелограмм, вершинами которого являются эта вершина и соседние с ней.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38577: Продолжив боковые стороны трапеции до пересечения, получим некоторый угол, содержащий трапецию. Трапеция лежит по одну сторону от каждой из сторон этого угла. Очевидно также, что трапеция лежит по одну сторону от каждого из оснований.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38578: Сначала, воспользовавшись свойством биссектрисы треугольника, докажите, что \(AC : AD = BC : BD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38579: Пусть продолжения сторон \(AB\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) касаются окружности в точках \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\). Тогда \(AB + ВС = AK - BK + BL - CL = AK - CL\) и \(AD + DC = AN - DN + DM -CM = AN - CM = AK - CL\)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38580: Пусть прямая MN, где М и N - середины сторон АВ и СД выпуклого четырёхутольника ABCD, образует равные углы с диагоналями. Рассмотрим середину К стороны AD. Отрезки КМ и КМ параллельны диагоналям и равны их по-ловинам. Поэтому треугольник МКМ равнобедренный и диагонали равны.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38581: Взяв две хорды \(ВА\) и \(ВС\), образующие равные углы с диаметром, можно построить треугольники \(ABD\) и \(CBD\), у которых стороны \(АВ\) и \(СВ\) равны и углы \(А\) и \(С\) равны (рис. 255, а). Из этих треугольников можно сложить требуемый четырёхугольник \(ABCD\) (рис. 255, 6)
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38582: Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Примените неравенство треугольника к тре-угольникам АОВ и COD.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38583: Воспользуйтесь задачей 23.21.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38584: Отметьте на лучах \(АВ\) и \(АС\) точки \(С_{1}\) и \(В_{1}\) так, что \(АС_{1} = АС\) и \(АВ_{1}= АВ\). Воспользуйтесь тем, что сумма сторон \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) четырёхугольника \(ВВ_{1}СС_{1}\) меньше суммы его диагоналей.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38585: Пусть четырёхугольник \(ABCD\) выпуклый, \(М\) - произвольная точка. Тогда \(AM + MC \geq AC\) и \(BM + MD \geq BD\). Если же \(O\) точка пересечениядиагоналей, то \(АО + ОС = АС\) и \(BO + OD = BD\).
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38586: Рассмотрите точку \(Q\) и корой луч до пересекает сторону четырехугольника, и запишите неравенства для \(АО + OQ\) и для \(BO\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38587: Воспользуйтесь неравенством \(AO + OB < AD + DC + СВ\) из задачи 28,25.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38588: Пусть вершины \(C\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(АВ\). Стороны \(АВ\) и \(CD\) не пересекаются, поэтому отрезок \(CD\) пересекает не отрезок \(АВ\), а его продолжение. Пусть для определённости он пересекает продолжение отрезка \(АВ\) за точку \(B\) (рис. 266). Тогда точка \(В\) лежит внутри треугольника \(ACD\), четырёхугольник \(ABCD\) лежит по одну стороцу от диагонали \(АС\) и по разные стороны от диагонали \(BD\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38589: Пусть невыпуклый четырехугольник ABCD лежит по одну сторону от диагонали АС и по разные стороны от диагонали BD. Тогда прямая ВД пересекает отрезок АС в некоторой точке K (cM. рис. 256). Если КВ < КД, то точка В лежит внутри треугольника ADC, а если KD < КВ, то точка D лежит внутри треугольника АВС.
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38590: Воспользуйтесь тем, что суммы углов треугольников \(АВС\) и \(ABD\) равны \(180^\circ\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38591: См. рис. 257.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38592: См. рис. 258.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38593: Воспользуйтесь тем, что диагональ пятиугольника меньше суммы двух его сторон. Пусть диагонали \(АС\) и \(ВЕ\) выпуклого пятиугольника \(ABCDE\) пересекаются в точке \(М\); воспользуйтесь тем, что \(AB < AM + MB\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38594: Угол \(DBE\) равен сумме углов \(АВЕ\) и \(CBD\), постому на стороне \(ED\) можно выбрать точку \(Р\) так, что \(\angle EBP = \angle ABE =\angle AEB\) и \( \angle DBP = \angle CBD=\angle CDB\). Тогда \(AB \parallel ВР\) и \(CD \parallel BP\). поэтому \(AE \parallel CD\). Кроме тoгo, \(AE - CD\), поэтому \(ACDE\) параллелограмм. Следовательно, \(AC = ED\) и треугольник \(АВС\) равносторонний.
Ответ: NaN
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38595: Рассмотрите точку \(L\), в которой пересенаются прямые \(АЕ\) и \(CD\). Пусть градусные меры дуг \(ВС\), \(CD\), \(DE\) и \(EA\) равны \(2\alpha_{1}\), (2\alpha_{2}\), (2\beta_{2}\) и (2\beta_{1}\) (Рис. 259). Тогда \(\angle DAB = \alpha_{1} + \alpha_{2}\). Градусная мера дуги \(АВ\) равна 2(\alpha_{2} + \beta_{2})\), поэтому \(\angle DCK = \angle DLE = 2(\alpha_{w} + \beta_{2}) + 2\alpha_{2} - 2\beta_{2} = \angle DAB\). Аналогично \(\angle DEL = \angle DBA\). Следовательно, \(\Delta DAB \backsim \Delta DCK\).
Ответ: Утверджение доказано.
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Решение №38596: Из равенства площадей треугольников АВЕ и АВС следует, что СЕ [АВ. Остальные диагонали пятиугольника тоже параллельны его сторонам. Пусть р - точка пересечения отрезков BD и ЕС. Положим х - Sg- Ясно, что Sepg~ SaBr - 1, поскольку АВРЕ - параллелограмм. Поэтому SABene = SABR+ Sepg + Seoc+ Sare™ 3 + x. Из равенства отношений SBPC: SpPc = BP : DP - Sepg: Sgpp получаем квадратное уравнение x: (1 -x) - 1:х и находим его положительный корень 55-1.
Ответ: NaN