№38571

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Из вершин треугольника проведены лучи, которые делят его углы на следующие углы: \(20^\circ\) и \(10^\circ\), \(30^\circ\) и \(40^\circ\), \(30^\circ\) и \(50^\circ\) (рис. 81). Докажите, что эти лучи пересекаются в одной точке.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38555:

Требуется доказать, что \(\frac{\sin {20^\circ}}{\sin {10^\circ}} \cdot \frac{\sin {30^\circ}}{\sin {40^\circ}} \cdot \frac{\sin {30^\circ}}{\sin {50^\circ}} = 1\). Ясно, что \(\sin {10^\circ}\sin {40^\circ}\sin {50^\circ} = \sin {10^\circ}\sin {40^\circ}\cos {40^\circ} = \frac{1}{2}\sin {10^\circ}\sin {80^\circ} = \frac{1}{4}\sin {20^\circ}.