№38569

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) или на их продолжениях отмечены точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\). Докажите, что \(\frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{CB_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{AC_{1}}{BC_{1}} = \frac{\sin{BAA_{1}}}{\sin{CAA_{1}}} \cdot \frac{\sin{CBB_{1}}}{\sin{ABB_{1}}} \cdot \frac{\sin{ACC_{1}}}{\sin{BCC_{1}}}\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38553:

По теореме синусов \(\sin {BAA_{1}} : \sin {BA_{1}A} = BA_{1} : BA\) и \(\sin {CAA_{1}} : \sin {CA_{1}A} = CA_{1} : CA\). Кроме того, \(\sin {BA_{1}A} = \sin {CA_{1}A}\). Поэтому \(\frac{\sin{BAA_{1}}}{\sin{CAA_{1}}} = \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{AC}{BC}\).