№38572

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(А_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\), так, что отрезки \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в одной точке. Лучи \(АА_{2}\), \(ВВ_{2}\) и \(СС_{2}\) симметричны лучам \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что лучи \(АА_{2}\), \(ВВ_{2}\) и \(СС_{2}\) пересекаются в одной точке.

Ответ

NaN

Решение № 38556:

По теореме синусов \(\sin {BAA_{1}} : \sin {BA_{1}A} = BA_{1} : BA\) и \(\sin {CAA_{1}} : \sin {CA_{1}A} = CA_{1} : CA\). Кроме того, \(\sin {BA_{1}A} = \sin {CA_{1}A}\). Поэтому \(\frac{\sin{BAA_{1}}}{\sin{CAA_{1}}} = \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \cdot \frac{AC}{BC}\) и \(\sin{BAA_{1}} : \sin CAA_{1} = \sin CAA_{2} : \sin BAA_{2}\).