№38568

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На сторонах \(ВС\), \(СА\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\) отмечены точки \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\) так, что отрезки \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) пересекаются в одной точке. Точки \(А_{2}\), \(В_{2}\) и \(С_{2}\) симметричны точкам \(А_{1}\), \(В_{1}\) и \(С_{1}\) относительно середин соответствующих сторон треугольника. Докажите, что отрезки \(АА_{2}\), \(ВВ_{2}\) и \(СС_{2}\) пересекаются в одной точке.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38552:

Воспользуйтесь тем, что \(ВА_{1} : СА_{1} = СА_{2} : ВА_{2}\).