№38570
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, треугольники, подобие треугольников, Соотношение в треугольнике,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Условие
Из вершин треугольника проведены лучи, которые делят его углы на следующие углы: \(30^\circ\) и \(20^\circ\), \(10^\circ\) и \(70^\circ\), \(40^\circ\) и \(10^\circ\) (рис. 80). Докажите, что эти лучи пересекаются в одной точке.
Ответ
Утверджение доказано.
Решение № 38554:
Требуется доказать, что \(\frac{\sin {30^\circ}}{\sin {20^\circ}} \cdot \frac{\sin {10^\circ}}{\sin {70^\circ}} \cdot \frac{\sin {40^\circ}}{\sin {10^\circ}} = 1\). Ясно, что \(\sin {30^\circ} sin {40^\circ} = \frac{1}{2}\sin {40^\circ} = \sin {20^\circ} \cos {20^\circ} = \sin {20^\circ} \sin {70^\circ}\).